题目
设总体X的数学期望为μ,方差为σ^2,(X1,X2,···Xn)为来自总体X的简单-|||-随机样本,则下列结论不正确的是 ()-|||-A) ((X)_(i))=mu ;-|||-B ((X)_(i))=(sigma )^2 ;-|||-C I (overline (X))=u 三-|||-D (overline (X))=(sigma )^2
题目解答
答案
D. $D(\overline {X})={\sigma }^{2}$
解析
步骤 1：理解样本均值的期望和方差
样本均值 $\overline{X}$ 是所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。根据期望和方差的性质，样本均值的期望等于总体均值，即 $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \mu = \mu$。样本均值的方差等于总体方差除以样本量，即 $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$。
步骤 2：分析选项
A) $E(X_i) = \mu$：这是正确的，因为每个样本的期望值等于总体均值。
B) $D(X_i) = \sigma^2$：这是正确的，因为每个样本的方差等于总体方差。
C) $E(\overline{X}) = \mu$：这是正确的，因为样本均值的期望值等于总体均值。
D) $D(\overline{X}) = \sigma^2$：这是不正确的，因为样本均值的方差等于总体方差除以样本量，即 $D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。
样本均值 $\overline{X}$ 是所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。根据期望和方差的性质，样本均值的期望等于总体均值，即 $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \mu = \mu$。样本均值的方差等于总体方差除以样本量，即 $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$。
步骤 2：分析选项
A) $E(X_i) = \mu$：这是正确的，因为每个样本的期望值等于总体均值。
B) $D(X_i) = \sigma^2$：这是正确的，因为每个样本的方差等于总体方差。
C) $E(\overline{X}) = \mu$：这是正确的，因为样本均值的期望值等于总体均值。
D) $D(\overline{X}) = \sigma^2$：这是不正确的，因为样本均值的方差等于总体方差除以样本量，即 $D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。