题目

若总体X的均值为mu，方差为sigma^2，X_1, X_2, ..., X_(10)为总体X的一组样本，则下列正确的是()A. E(overline(X))=mu/10B. D(overline(X))=sigma^2C. E(s^2)=sigma^2D. E(X_1-X_2)=mu

若总体$X$的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，$X_1, X_2, \cdots, X_{10}$为总体$X$的一组样本，则下列正确的是()

A. $E(\overline{X})=\mu/10$

B. $D(\overline{X})=\sigma^2$

C. $E(s^2)=\sigma^2$

D. $E(X_1-X_2)=\mu$

题目解答

答案

**答案：C** **解析：** - **选项A：** 样本均值 $\overline{X}$ 的期望等于总体均值 $\mu$，即 $E(\overline{X}) = \mu$，故错误。 - **选项B：** 样本均值的方差为 $D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$，其中 $n=10$，即 $D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{10}$，故错误。 - **选项C：** 样本方差 $S^2$ 的期望等于总体方差 $\sigma^2$，即 $E(S^2) = \sigma^2$，正确。 - **选项D：** 两个样本差的期望为 $E(X_1 - X_2) = E(X_1) - E(X_2) = 0$，故错误。 **答案：C**

解析

本题考查样本均值、样本方差的期望与方差的基本性质。解题关键在于：

  1. 样本均值的期望等于总体均值，即$E(\overline{X}) = \mu$；
  2. 样本均值的方差为总体方差除以样本量，即$D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$；
  3. 样本方差的无偏性：若样本方差$s^2$按$\frac{1}{n-1}\sum (X_i - \overline{X})^2$计算，则$E(s^2) = \sigma^2$；
  4. 独立样本差的期望：若$X_1, X_2$独立同分布，则$E(X_1 - X_2) = 0$。

选项分析

选项A：$E(\overline{X}) = \mu/10$

  • 错误。样本均值$\overline{X}$的期望始终等于总体均值$\mu$，与样本量无关。

选项B：$D(\overline{X}) = \sigma^2$

  • 错误。样本均值的方差应为$\frac{\sigma^2}{n}$，此处$n=10$，故$D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{10}$。

选项C：$E(s^2) = \sigma^2$

  • 正确。当样本方差$s^2$采用无偏估计（即分母为$n-1$）时，其期望等于总体方差$\sigma^2$。

选项D：$E(X_1 - X_2) = \mu$

  • 错误。$X_1$和$X_2$均服从总体分布，故$E(X_1 - X_2) = \mu - \mu = 0$。