题目

若_(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0只有零解，则_(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0必须满足（）A._(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0且_(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0B._(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0且_(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0C._(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0且_(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0D._(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0且_(1)+((k)^2+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-_(1)+(2k+1)(x)_(2)+2(x)_(3)=0-|||-(x)_(1)+k(x)_(2)+(2k+1)(x)_(3)=0

若 $\begin{cases} x_1+(k^2+1)x_2+2x_3=0 \newline x_1+(2k+1)x_2+2x_3=0 \newline kx_1+kx_2+(2k+1)x_3=0 \end{cases}$ 只有零解，则 $k$ 必须满足（）

A. $k\ne-1$ 且 $k\ne3$

B. $k\ne0$ 且 $k\ne2$

C. $k\ne-2$ 且 $k\ne3$

D. $k\ne-2$ 且 $k\ne4$

题目解答

答案

首先，依题意有线性方程组

$\begin{cases} x_1+(k^2+1)x_2+2x_3=0 \newline x_1+(2k+1)x_2+2x_3=0 \newline kx_1+kx_2+(2k+1)x_3=0 \end{cases}$ ，

我们可以将其表示成 $Ax=0$ 的形式，其中

$A=\begin{bmatrix} 1 & k^2+1&2\\ 1&2k+1&2 \\ k&k&2k+1 \end{bmatrix}$ ， $x=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}$ 。

其次，因为线性方程组只有零解，我们可以利用其充要条件“矩阵 $A$ 的行列式不为0，即 $\left|A\right|\ne0$ ”进行求解，即我们令 $|A|=\begin{vmatrix} 1 & k^2+1&2\\ 1&2k+1&2 \\ k&k&2k+1 \end{vmatrix}\ne0$ ，即

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & k^2+1&2\\ 1&2k+1&2 \\ k&k&2k+1 \end{vmatrix}\xlongequal{r2-r1} \begin{vmatrix} 1 & k^2+1&2\\ 0&2k-k^2&0 \\ k&k&2k+1 \end{vmatrix}$

$\xlongequal{r3-k\times r1} \begin{vmatrix} 1 & k^2+1&2\\ 0&2k-k^2&0 \\ 0&-k^3&1 \end{vmatrix} =1\times\begin{vmatrix} 2k-k^2&0 \\ -k^3&1 \end{vmatrix}=2k-k^2\ne0$

因此，解得 $k\ne2$ 且 $k\ne0$ 。

最后，根据计算结果判断选项A错误，选项B正确，选项C错误，选项D错误。

故本题答案为B。