设一汽车沿街道行驶,需要经过三个有红绿灯的路口,每个信号灯显示是相互独立的,且红绿灯显示时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数,求X的分布.

步骤 1：定义随机变量
定义随机变量 ${X}_{i}$ 为第 $i$ 个路口的信号灯状态，其中 ${X}_{i}=1$ 表示红灯，${X}_{i}=0$ 表示绿灯，$i=1,2,3$。则 $X$ 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，$X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$。

步骤 2：计算 $X$ 的概率分布
- $P(X=0)$：表示汽车在第一个路口遇到红灯的概率，即 $P({X}_{1}=1)=\dfrac {1}{2}$。
- $P(X=1)$：表示汽车在第一个路口遇到绿灯，在第二个路口遇到红灯的概率，即 $P({X}_{1}=0,{X}_{2}=1)=\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{4}$。
- $P(X=2)$：表示汽车在前两个路口遇到绿灯，在第三个路口遇到红灯的概率，即 $P({X}_{1}=0,{X}_{2}=0,{X}_{3}=1)=\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{8}$。
- $P(X=3)$：表示汽车在前三个路口都遇到绿灯的概率，即 $P({X}_{1}=0,{X}_{2}=0,{X}_{3}=0)=\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{8}$。

步骤 3：总结分布律
根据上述计算，可以得到 $X$ 的分布律为：
$X$ 的分布律为 $X \left (\begin{matrix} 0& 1& 2& 3\\ \dfrac {1}{2}& \dfrac {1}{4}& \dfrac {1}{8}& \dfrac {1}{8}\end{matrix} ) \right.$