设A是4阶可逆矩阵，|A|=4，则A|A^-1=().A. 64B. 16C. 4D. 256

本题考查可逆矩阵的性质以及行列式的运算法则。解题的关键在于利用可逆矩阵行列式的性质$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$，以及行列式的数乘性质$\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$（其中$n$为矩阵$A$的阶数）来逐步计算$\vert A\vert\vert A^{-1}\vert$的值。

1. 首先明确已知条件：
   • 已知$A$是$4$阶可逆矩阵，且$\vert A\vert = 4$。
2. 然后根据可逆矩阵行列式的性质求$\vert A^{-1}\vert$：
   • 对于可逆矩阵$A$，有$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$。
   • 把$\vert A\vert = 4$代入上式，可得$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{4}$。
3. 最后计算$\vert A\vert\vert A^{-1}\vert$：
   • 因为$\vert A\vert = 4$，$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{4}$，所以$\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=4\times\frac{1}{4}=1$。
   • 这里题目可能是$\vert A\vert\vert A^*\vert$（$A^*$为$A$的伴随矩阵），根据伴随矩阵的性质$A^*=\vert A\vert A^{-1}$，则$\vert A^*\vert=\vert\vert A\vert A^{-1}\vert$。
   • 由行列式的数乘性质$\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$（$n$为矩阵$A$的阶数），这里$k = \vert A\vert = 4$，$n = 4$，所以$\vert\vert A\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^n\vert A^{-1}\vert$。
   • 又因为$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$，则$\vert A\vert^n\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{n - 1}$。
   • 把$\vert A\vert = 4$，$n = 4$代入$\vert A\vert^{n - 1}$，可得$4^{4 - 1}=4^3$。
   • 根据指数运算法则$4^3=4\times4\times4 = 64$。