题目
设X1,X2,···,Nn为取自标准正态分布总体N(0,1)的样本,x为样本均值,则X1,X2,···,Nn服从()A t分布B X1,X2,···,Nn分布C指数分布D正态分布
设
为取自标准正态分布总体N(0,1)的样本,x为样本均值,则
服从()
A t分布
B 
分布
C指数分布
D正态分布
题目解答
答案
∵已知
，
。
∵根据正态分布的性质，若，则
。
∵ 样本均值
∴
∴
的期望
，方差
∴
答案是D选项。
解析
步骤 1：理解样本均值的分布
已知${X}_{i}\sim N(0,1)$，$i=1,2,\cdots ,n$。根据正态分布的性质，若${X}_{i}\sim N(0,1)$，则$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\sim N(0,n)$。样本均值$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，因此$\overline {X}\sim N(0,\dfrac {1}{n})$。
步骤 2：计算$\sqrt {n}\overline {X}$的分布
由于$\overline {X}\sim N(0,\dfrac {1}{n})$，则$\sqrt {n}\overline {X}$的期望$E(\sqrt {n}\overline {X})=0$，方差$D(\sqrt {n}\overline {X})=n\times \dfrac {1}{n}=1$。因此，$\sqrt {n}\overline {X}\sim N(0,1)$。
步骤 3：确定$\sqrt {n}\overline {X}$的分布类型
根据步骤2的计算，$\sqrt {n}\overline {X}$服从标准正态分布$N(0,1)$，因此$\sqrt {n}\overline {X}$服从正态分布。
已知${X}_{i}\sim N(0,1)$，$i=1,2,\cdots ,n$。根据正态分布的性质，若${X}_{i}\sim N(0,1)$，则$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\sim N(0,n)$。样本均值$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，因此$\overline {X}\sim N(0,\dfrac {1}{n})$。
步骤 2：计算$\sqrt {n}\overline {X}$的分布
由于$\overline {X}\sim N(0,\dfrac {1}{n})$，则$\sqrt {n}\overline {X}$的期望$E(\sqrt {n}\overline {X})=0$，方差$D(\sqrt {n}\overline {X})=n\times \dfrac {1}{n}=1$。因此，$\sqrt {n}\overline {X}\sim N(0,1)$。
步骤 3：确定$\sqrt {n}\overline {X}$的分布类型
根据步骤2的计算，$\sqrt {n}\overline {X}$服从标准正态分布$N(0,1)$，因此$\sqrt {n}\overline {X}$服从正态分布。