已知某种元件的寿命服从正态分布,要求该元件的平均寿命不低于1000h,现从这批元件中随机抽取25只,测得平均寿命=980h,标准差S=65h,试在水平a=0.05下,确定这批元件是否合格.

步骤 1：确定假设
根据题意，需要检验元件的平均寿命是否不低于1000小时。因此，我们设定原假设和备择假设如下：
- 原假设 ${H}_{0}$：元件的平均寿命 $u \geq 1000$ 小时
- 备择假设 ${H}_{1}$：元件的平均寿命 $u < 1000$ 小时

步骤 2：构造检验统计量
由于样本容量较小（n=25），且总体标准差未知，我们使用t检验。构造检验统计量为：
$$ t = \frac{\overline{x} - u_0}{S} \sqrt{n} $$
其中，$\overline{x} = 980$ 小时，$u_0 = 1000$ 小时，$S = 65$ 小时，$n = 25$。

步骤 3：计算检验统计量的值
将已知数值代入检验统计量公式中，计算得到：
$$ t = \frac{980 - 1000}{65} \sqrt{25} = \frac{-20}{65} \times 5 = -1.5385 $$

步骤 4：确定临界值
在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，自由度为 $n-1 = 24$，查t分布表得到临界值 $t_{0.05}(24) = -1.7109$。

步骤 5：比较检验统计量与临界值
比较计算得到的检验统计量 $t = -1.5385$ 与临界值 $t_{0.05}(24) = -1.7109$。由于 $-1.5385 > -1.7109$，我们不能拒绝原假设 ${H}_{0}$。