题目
从正态总体中随机抽取一个样本容量为 10 的样本,计算得到样本均值为 80,样本标准差为 10。则总体均值的 95%置信区间为( )A. (7508,8492)B. (7608,8392)C. (7708,8292)D. (7808,8192)
从正态总体中随机抽取一个样本容量为 10 的样本,计算得到样本均值为 80,样本标准差为 10。则总体均值的 95%置信区间为( )
A. (7508,8492)
B. (7608,8392)
C. (7708,8292)
D. (7808,8192)
题目解答
答案
C. (7708,8292)
解析
步骤 1：确定置信区间公式
对于正态总体，当总体标准差未知时，使用样本标准差来估计总体标准差。此时，总体均值的置信区间公式为：
\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(t_{\alpha/2, n-1}\) 是自由度为 \(n-1\) 的 t 分布的临界值，\(s\) 是样本标准差，\(n\) 是样本容量。
步骤 2：计算临界值
给定的置信水平为 95%，即 \(\alpha = 0.05\)，自由度 \(n-1 = 9\)。查 t 分布表，得到 \(t_{0.025, 9} = 2.262\)。
步骤 3：计算置信区间
代入已知数据：\(\bar{x} = 80\)，\(s = 10\)，\(n = 10\)，\(t_{0.025, 9} = 2.262\)，计算得到：
\[ 80 \pm 2.262 \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} \]
\[ 80 \pm 2.262 \cdot 3.162 \]
\[ 80 \pm 7.14 \]
\[ (72.86, 87.14) \]
对于正态总体，当总体标准差未知时，使用样本标准差来估计总体标准差。此时，总体均值的置信区间公式为：
\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(t_{\alpha/2, n-1}\) 是自由度为 \(n-1\) 的 t 分布的临界值，\(s\) 是样本标准差，\(n\) 是样本容量。
步骤 2：计算临界值
给定的置信水平为 95%，即 \(\alpha = 0.05\)，自由度 \(n-1 = 9\)。查 t 分布表，得到 \(t_{0.025, 9} = 2.262\)。
步骤 3：计算置信区间
代入已知数据：\(\bar{x} = 80\)，\(s = 10\)，\(n = 10\)，\(t_{0.025, 9} = 2.262\)，计算得到：
\[ 80 \pm 2.262 \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} \]
\[ 80 \pm 2.262 \cdot 3.162 \]
\[ 80 \pm 7.14 \]
\[ (72.86, 87.14) \]