题目

单选题（共10题，100.0分）单选题限时 00:593.（10.0分）A_(3)的特征值为1,2,3; 则|A-E|=（ ）A 3B 2C 0D 1

单选题（共10题，100.0分） 单选题限时 00:59 3.（10.0分）$A_{3}$的特征值为1,2,3; 则|A-E|=（ ） A 3 B 2 C 0 D 1

题目解答

答案

为了求解 $ |A - E| $ 的值，我们需要利用矩阵 $ A $ 的特征值。已知 $ A $ 的特征值为1, 2, 3。特征值的定义告诉我们，对于矩阵 $ A $ 的每个特征值 $ \lambda $，存在非零向量 $ \mathbf{v} $ 使得 $ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $。这可以重写为 $ (A - \lambda E) \mathbf{v} = \mathbf{0} $，其中 $ E $ 是单位矩阵。因此， $ \lambda $ 是 $ A $ 的特征值当且仅当 $ |A - \lambda E| = 0 $。 现在，我们需要求 $ |A - E| $。根据特征值的性质，如果 $ \lambda $ 是 $ A $ 的特征值，那么 $ \lambda - 1 $ 是 $ A - E $ 的特征值。因此， $ A - E $ 的特征值为 $ 1 - 1 = 0 $, $ 2 - 1 = 1 $, $ 3 - 1 = 2 $。 一个矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。所以， $ |A - E| $ 等于 $ A - E $ 的所有特征值的乘积，即 $ 0 \times 1 \times 2 = 0 $。 因此， $ |A - E| $ 的值为 $ 0 $。 答案是 $\boxed{C}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵特征值的性质及其行列式的计算。
解题核心思路：利用特征值的平移性质，即若矩阵$A$的特征值为$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则矩阵$A - E$的特征值为$\lambda_1 - 1, \lambda_2 - 1, \lambda_3 - 1$。
关键点：

  1. 行列式等于特征值的乘积；
  2. 特征值的平移规律：矩阵$A - E$的特征值是原特征值减1。

已知矩阵$A$的特征值为$1, 2, 3$，求$|A - E|$的值。

  1. 分析矩阵$A - E$的特征值
    根据特征值的平移性质，若$A$的特征值为$\lambda_i$，则$A - E$的特征值为$\lambda_i - 1$。
    因此，$A - E$的特征值为：
    $1 - 1 = 0, \quad 2 - 1 = 1, \quad 3 - 1 = 2.$

  2. 计算行列式
    矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积，因此：
    $|A - E| = 0 \times 1 \times 2 = 0.$

综上，答案为$\boxed{C}$。