题目
14.若Xsim N(mu,sigma^2)，则(X-mu)/(sigma^2)sim N(0,1)。（） 判断题（5分） bigcircA.对 bigcircB.错
14.若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$\frac{X-\mu}{\sigma^{2}}\sim N(0,1)$。（） 判断题（5分） $\bigcirc$A.对 $\bigcirc$B.错
题目解答
答案
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则标准化变量为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。 题目中变量为 $Y = \frac{X - \mu}{\sigma^2} = \frac{Z}{\sigma}$。 计算得： \[ E(Y) = 0, \quad D(Y) = \frac{D(Z)}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2} \] 仅当 $\sigma = 1$ 时，$D(Y) = 1$，但题目未限定 $\sigma = 1$，故 $Y$ 不服从 $N(0, 1)$。 答案：$\boxed{B}$
解析
本题考查正态分布的标准化以及随机变量的期望和方差的计算。解题思路是先明确正态分布标准化的形式，再根据题目所给变量进行变形，最后计算该变量的期望和方差，判断其是否服从标准正态分布。
设$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，根据正态分布的标准化定义，标准化变量$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
而题目中所给变量为$Y = \frac{X - \mu}{\sigma^2}$，将$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$代入$Y$可得$Y = \frac{Z}{\sigma}$。
接下来计算$Y$的期望和方差：
- 期望：因为$E(Z)=0$，根据期望的性质$E(Y)=E(\frac{Z}{\sigma})=\frac{1}{\sigma}E(Z)=0$。
- 方差：根据方差的性质$D(Y)=D(\frac{Z}{\sigma})=\frac{1}{\sigma^2}D(Z)$，又因为$D(Z)=1$，所以$D(Y)=\frac{1}{\sigma^2}$。
仅当$\sigma = 1$时，$D(Y) = 1$，但题目未限定$\sigma = 1$，故$Y$不服从$N(0, 1)$。