期望的性质 设随机变量X和Y的数学期望都是0，方差都是2，而相关系数为0.5，则E(X+Y)²=____。 下列选项正确的是()A. 5.4B. 6.5C. 5D. 6

考查要点：本题主要考查期望的性质、方差与协方差的关系以及相关系数的应用。

解题核心思路：

1. 展开表达式：将 $(X+Y)^2$ 展开为 $X^2 + 2XY + Y^2$，利用期望的线性性质分别计算各部分的期望。
2. 利用已知条件：已知 $E(X)=E(Y)=0$，可直接得出 $E(X^2)=\text{Var}(X)=2$，同理 $E(Y^2)=2$。
3. 计算协方差：通过相关系数 $\rho_{XY}=0.5$ 和方差计算协方差 $\text{Cov}(X,Y)$，进而求出 $E(XY)$。
4. 综合结果：将各部分结果代入求和，得到最终答案。

破题关键点：

• 协方差与相关系数的关系是本题的核心，需正确应用公式 $\text{Cov}(X,Y)=\rho_{XY} \cdot \sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}$。
• 期望的线性性质允许将复杂表达式分解为简单部分分别计算。

1. 展开表达式
   $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$
   对两边取期望：
   $E[(X+Y)^2] = E[X^2 + 2XY + Y^2]$

2. 利用期望的线性性质
   $E[X^2 + 2XY + Y^2] = E[X^2] + 2E[XY] + E[Y^2]$

3. 计算各部分期望

   • $E[X^2]$ 和 $E[Y^2]$
     已知 $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 2$，且 $E[X]=0$，故：
     $E[X^2] = 2, \quad E[Y^2] = 2$
   • $E[XY]$
     相关系数 $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}$，代入 $\rho_{XY}=0.5$ 和 $\text{Var}(X)=\text{Var}(Y)=2$：
     $\text{Cov}(X,Y) = 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot 2} = 1$
     由于 $\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$，且 $E[X]=E[Y]=0$，故：
     $E[XY] = \text{Cov}(X,Y) = 1$

4. 综合结果
   $E[(X+Y)^2] = 2 + 2 \cdot 1 + 2 = 6$