题目

35/41 判断题（2分）由（X，Y）的分布可确定X与Y的边缘分布：（）bigcirc正确bigcirc错误

35/41 判断题（2分） 由（X，Y）的分布可确定X与Y的边缘分布：（） $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

正确。 由联合分布 $(X, Y)$ 可以通过求和（离散）或积分（连续）得到边缘分布。具体地，对于离散变量，$X$ 的边缘分布为 $P(X = x) = \sum_{y} P(X = x, Y = y)$，$Y$ 的边缘分布为 $P(Y = y) = \sum_{x} P(X = x, Y = y)$。对于连续变量，通过积分得到相应边缘密度函数。因此，联合分布能唯一确定边缘分布。 答案：$\boxed{\text{正确}}$

解析

考查要点：本题主要考查对联合分布与边缘分布关系的理解，判断是否能通过联合分布确定边缘分布。

解题核心思路：

  • 联合分布描述两个随机变量同时取值的概率分布，而边缘分布是单独一个变量的概率分布。
  • 关键点在于明确：无论变量是离散还是连续，边缘分布均可通过对联合分布的求和（离散）或积分（连续）得到。

破题关键：

  • 回忆离散型变量的边缘分布公式：$P(X=x) = \sum_y P(X=x, Y=y)$，以及连续型变量的边缘密度公式：$f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y) \, dy$。
  • 理解联合分布唯一决定边缘分布的数学依据。

判断依据：

  1. 离散型随机变量：
    若已知联合概率分布 $P(X=x, Y=y)$，则：

    • $X$ 的边缘分布为 $P(X=x) = \sum_y P(X=x, Y=y)$（对所有可能的 $y$ 求和）。
    • $Y$ 的边缘分布同理，为 $P(Y=y) = \sum_x P(X=x, Y=y)$。

  2. 连续型随机变量：
    若已知联合概率密度函数 $f(x,y)$，则：

    • $X$ 的边缘密度函数为 $f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y) \, dy$（对 $y$ 积分）。
    • $Y$ 的边缘密度函数同理，为 $f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y) \, dx$。

结论：无论变量类型如何，联合分布均能唯一确定边缘分布，因此题目描述正确。