关于函数y=f(x)，则下列结论正确的是().A. 若在x=x_0处可导，则f'(x_0)=f(x_0)B. 若y在x=x_0不可导，则x=x_0处连续C. 若lim_(x to x_0) f(x) = f(x_0)，则y在x=x_0处可导D. 若在x=x_0处可导，则lim_(x to x_0) f(x) = f(x_0)

本题主要考查函数在某点处可导、连续的定义及它们之间的关系。解题的关键在于准确理解可导和连续的概念，并依据这些概念对每个选项进行分析判断。

选项A

函数在某点处的导数$f^\prime(x_0)$表示函数在该点处的瞬时变化率，其定义为$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$；而$f(x_0)$表示函数在$x = x_0$处的函数值。
一般情况下，函数在某点的导数和该点的函数值是不同的概念，它们之间没有必然的相等关系。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，$f(1)=1^2 = 1$，而$f^\prime(x)=2x$，$f^\prime(1)=2\times1 = 2$，此时$f^\prime(1)\neq f(1)$。所以选项A错误。

选项B

函数在某点不可导，有多种情况。函数在某点不可导，可能是因为该点处的导数不存在，比如函数在该点处有尖点或者不连续。
例如，函数$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq0 \\ -1, & x\lt0\end{cases}$，在$x = 0$处，左导数$\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{-1 - 1}{\Delta x}=+\infty$，右导数$\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{1 - 1}{\Delta x}=0$，左右导数不相等，所以函数在$x = 0$处不可导。
同时，$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)= -1$，$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)= 1$，$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)\neq\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$，函数在$x = 0$处不连续。所以选项B错误。

选项C

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$只能说明函数$y = f(x)$在$x = x_0$处连续。
函数连续是可导的必要条件，但不是充分条件。也就是说，函数在某点连续，不一定在该点可导。
例如，函数$f(x)=\vert x\vert$，$\lim\limits_{x \to 0} \vert x\vert = 0 = f(0)$，函数在$x = 0$处连续。
但是，左导数$\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x - 0}{\Delta x}=-1$，右导数$\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x - 0}{\Delta x}=1$，左右导数不相等，函数在$x = 0$处不可导。所以选项C错误。

选项D

根据函数在某点可导的定义，如果函数$y = f(x)$在$x = x_0$处可导，那么$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在。
因为极限存在，所以函数在该点处的变化是有规律的，必然满足$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，即函数在$x = x_0$处连续。所以选项D正确。