4.判断A=}1&0&21&1&2-1&2&0是否可逆，若可逆求其逆矩阵.
题目解答
答案
-
计算行列式：
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \times (1 \times 0 - 2 \times 2) - 0 + 2 \times (1 \times 2 - 1 \times (-1)) = 1 \times (-4) + 2 \times 3 = 2 \neq 0$
行列式非零，矩阵可逆。 -
求逆矩阵：
使用初等行变换或伴随矩阵法，得
$A^{-1} = \boxed{\begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}}$
或等价表示为
$A^{-1} = \boxed{\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 4 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}}$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的可逆性判断及逆矩阵的求解方法。
解题思路：
- 判断矩阵是否可逆：计算矩阵的行列式，若行列式非零，则矩阵可逆。
- 求逆矩阵：若矩阵可逆，可通过伴随矩阵法或初等行变换法求解逆矩阵。
关键点：
- 行列式的计算需准确展开，注意符号和余子式的对应关系。
- 伴随矩阵法的核心是计算代数余子式矩阵的转置，再除以行列式。
- 初等行变换法需将增广矩阵通过行变换转化为单位矩阵，右侧即为逆矩阵。
步骤1：计算行列式
按第一行展开行列式：
$\begin{aligned}\det(A) &= 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 0\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}1 & 2 \\ -1 & 0\end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix} \\
&= 1 \cdot (1 \cdot 0 - 2 \cdot 2) + 0 + 2 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) \\
&= 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = -4 + 6 = 2 \neq 0.
\end{aligned}$
结论：矩阵$A$可逆。
步骤2：求逆矩阵（伴随矩阵法）
- 计算代数余子式矩阵：
$\begin{pmatrix} -4 & -2 & 3 \\ 4 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - 转置代数余子式矩阵（伴随矩阵）：
$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & 4 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ - 除以行列式：
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 4 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$