题目
设Xsim N(1,2)，Y服从参数为3的泊松分布，且X与Y独立，则D(XY)=(）A. 27B. 43C. 52D. 48
设$X\sim N(1,2)$，Y服从参数为3的泊松分布，且X与Y独立，则$D(XY)=$(）
A. 27
B. 43
C. 52
D. 48
题目解答
答案
A. 27
解析
步骤 1：计算期望
$X \sim N(1, 2)$，所以 $E(X) = 1$，$D(X) = 2$。
$Y$ 服从参数为 3 的泊松分布，所以 $E(Y) = 3$，$D(Y) = 3$。
由于 $X$ 与 $Y$ 独立，$E(XY) = E(X)E(Y) = 1 \times 3 = 3$。
步骤 2：计算 $E(X^2)$ 和 $E(Y^2)$
$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2 + 1^2 = 3$。
$E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 3 + 3^2 = 12$。
步骤 3：计算 $E[(XY)^2]$
$E[(XY)^2] = E(X^2)E(Y^2) = 3 \times 12 = 36$。
步骤 4：计算 $D(XY)$
$D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2 = 36 - 3^2 = 36 - 9 = 27$。
或者使用公式：$D(XY) = E(X)^2D(Y) + E(Y)^2D(X) + D(X)D(Y) = 1^2 \times 3 + 3^2 \times 2 + 2 \times 3 = 3 + 18 + 6 = 27$。
$X \sim N(1, 2)$，所以 $E(X) = 1$，$D(X) = 2$。
$Y$ 服从参数为 3 的泊松分布，所以 $E(Y) = 3$，$D(Y) = 3$。
由于 $X$ 与 $Y$ 独立，$E(XY) = E(X)E(Y) = 1 \times 3 = 3$。
步骤 2：计算 $E(X^2)$ 和 $E(Y^2)$
$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2 + 1^2 = 3$。
$E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 3 + 3^2 = 12$。
步骤 3：计算 $E[(XY)^2]$
$E[(XY)^2] = E(X^2)E(Y^2) = 3 \times 12 = 36$。
步骤 4：计算 $D(XY)$
$D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2 = 36 - 3^2 = 36 - 9 = 27$。
或者使用公式：$D(XY) = E(X)^2D(Y) + E(Y)^2D(X) + D(X)D(Y) = 1^2 \times 3 + 3^2 \times 2 + 2 \times 3 = 3 + 18 + 6 = 27$。