题目

【例1】lim_(xto0)(e^x^(3)-1-x^3)/(sin^6)x.

【例1】$\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{3}}-1-x^{3}}{\sin^{6}x}.$

题目解答

答案

将分子 $e^{x^3} - 1 - x^3$ 和分母 $\sin^6 x$ 展开为泰勒级数。 分子： \[ e^{x^3} = 1 + x^3 + \frac{x^6}{2} + O(x^9), \quad \text{故} \quad e^{x^3} - 1 - x^3 = \frac{x^6}{2} + O(x^9). \] 分母： \[ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \quad \text{故} \quad \sin^6 x = x^6 + O(x^8). \] 代入得： \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^3} - 1 - x^3}{\sin^6 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^6}{2} + O(x^9)}{x^6 + O(x^8)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} + O(x^3)}{1 + O(x^2)} = \frac{1}{2}. \] **答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式求解极限的方法，特别是处理高阶无穷小的技巧。

解题核心思路：
当直接代入$x=0$导致$\frac{0}{0}$型不定式时，需将分子和分母展开为泰勒多项式，找到最高阶的非零项进行约简。

  • 分子：$e^{x^3}$展开到$x^6$项，消去低阶项后保留主部。
  • 分母：$\sin^6 x$展开到$x^6$项，忽略更高阶的小项。
    通过比较分子分母的主部系数，即可求得极限值。

破题关键点：

  1. 泰勒展开的阶数选择：分子需展开到$x^6$项，分母展开到$x^6$项。
  2. 高阶小项的处理：正确使用大O符号表示更高阶的无穷小，简化极限运算。

步骤1：展开分子$e^{x^3} - 1 - x^3$
根据泰勒公式，$e^{x^3}$展开到$x^6$项：
$e^{x^3} = 1 + x^3 + \frac{(x^3)^2}{2} + O(x^9) = 1 + x^3 + \frac{x^6}{2} + O(x^9).$
因此，分子化简为：
$e^{x^3} - 1 - x^3 = \frac{x^6}{2} + O(x^9).$

步骤2：展开分母$\sin^6 x$
$\sin x$的泰勒展开式为：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7).$
取六次方后，保留到$x^6$项：
$\sin^6 x = \left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right)^6 = x^6 + O(x^8).$

步骤3：代入极限表达式
将分子和分母的展开式代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^6}{2} + O(x^9)}{x^6 + O(x^8)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^6 \left(1 + O(x^3)\right)}{x^6 \left(1 + O(x^2)\right)}.$
约分后得到：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} \left(1 + O(x^3)\right)}{1 + O(x^2)} = \frac{1}{2}.$