题目

设 X_1, X_2, ldots, X_n 是来自正态总体 N(mu, sigma^2) 的样本，其中 sigma^2 已知，则 mu 的置信度为 0.95 的置信区间为 ______.

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，其中 $\sigma^2$ 已知，则 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间为 ______.

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，其中 $\sigma^2$ 已知。样本均值 $\bar{X}$ 服从 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
将 $\bar{X}$ 标准化得 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
对于置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，有 $\alpha = 0.05$，查表得 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
由 $P\left(-1.96 < \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} < 1.96\right) = 0.95$，解得
$\mu \in \left(\bar{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).$
答案：
$\boxed{\left( \bar{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)}$
（或用 $z_{0.025}$ 表示：$\boxed{\left( \bar{X} - z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)}$，其中 $z_{0.025} = 1.96$）

解析

本题考查正态总体均值在方差已知情况下的置信区间的求解。解题思路如下：

  1. 首先明确样本均值的分布：已知$X_1, X_2, \ldots, X_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的样本，根据正态分布的性质，样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$服从正态分布$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
  2. 然后对样本均值进行标准化：为了利用标准正态分布的性质，将$\bar{X}$标准化，构造统计量$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，由正态分布的标准化性质可知$Z\sim N(0, 1)$。
  3. 接着确定$\alpha$的值：已知置信度为$0.95$，即$1 - \alpha = 0.95$，通过移项可得$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
  4. 再查找标准正态分布的分位数：根据双侧置信区间的要求，需要查找$z_{\alpha/2}$的值，这里$\alpha/2 = 0.05/2 = 0.025$，查标准正态分布表可得$z_{0.025} = 1.96$。
  5. 最后推导置信区间：根据标准正态分布的性质，有$P\left(-z_{\alpha/2} < \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} < z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$，将$z_{\alpha/2}=z_{0.025} = 1.96$代入可得$P\left(-1.96 < \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} < 1.96\right) = 0.95$。
    对不等式$-1.96 < \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} < 1.96$进行求解：
    • 先对不等式各项同时乘以$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，得到$-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \bar{X} - \mu < 1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
    • 再对不等式各项同时减去$\bar{X}$，得到$-\bar{X}-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < - \mu < -\bar{X}+1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
    • 最后不等式各项同时乘以$-1$，不等号方向改变，得到$\bar{X}-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{X}+1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，所以$\mu$的置信度为$0.95$的置信区间为$\left(\bar{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$，也可以用$z_{0.025}$表示为$\left(\bar{X} - z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$，其中$z_{0.025} = 1.96$。