2、(4分)某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种血液病的治愈率为0.8.医院任意抽查100个服用此药品的病人，若其中多于75个人治愈，就接受此断言.已知实际上此药品对该病治疗率是0.7，问大众是否能接受此断言?(提示:使用De Moivre-Laplace定理)

本题考查二项分布的正态近似以及利用正态分布计算概率，解题思路如下：

1. 确定随机变量及其分布：
   • 设$X$为$100$个病人中治愈的人数，因为每个病人是否治愈是相互独立的，且治愈的概率固定为$0.7$，所以$X$服从二项分布$B(n,p)$，其中$n = 100$（试验次数，即病人总数），$p = 0.7$（每次试验成功的概率，即药品的治愈率）。
2. 使用De Moivre - Laplace定理进行正态近似：
   • 根据De Moivre - Laplace定理，当$n$很大时（一般$np\geq5$且$n(1 - p)\geq5$），二项分布$B(n,p)$近似服从正态分布$N(np,np(1 - p))$。
   • 计算$np=100\times0.7 = 70$，$np(1 - p)=100\times0.7\times(1 - 0.7)=100\times0.7\times0.3 = 21$。
   • 所以$X$近似服从正态分布$N(70,21)$。
3. 计算接受断言的概率：
   • 医院接受药厂断言的条件是$X>75$，我们需要计算$P(X > 75)$。
   • 为了利用标准正态分布表计算概率，我们进行标准化变换。设$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，其中$\mu = 70$是正态分布$N(70,21)$的均值，$\sigma=\sqrt{21}$是其标准差，$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
   • 则$P(X > 75)=P\left(\frac{X - 70}{\sqrt{21}}>\frac{75 - 70}{\sqrt{21}}\right)=P\left(Z > \frac{75 - 70}{\sqrt{21}}\right)$。
   • 计算$\frac{75 - 70}{\sqrt{21}}\approx\frac{5}{4.583}\approx1.09$，所以$P(X > 75)=P(Z > 1.09)$。
   • 根据标准正态分布的性质$P(Z > 1.09)=1 - P(Z\leq1.09)$。
   • 查标准正态分布表可得$P(Z\leq1.09)\approx0.8621$。
   • 所以$P(Z > 1.09)=1 - 0.8621 = 0.1379$。