题目
例2 设总体X的概率分布为PX=1=(1-theta)/(2),PX=2=PX=3=(1+theta)/(4)，利用来自总体的样本值1、3、2、2、1、3、1、2，可得theta的最大似然估计值为A. (1)/(4)B. (3)/(8)C. (1)/(2)D. (5)/(2)
例2 设总体X的概率分布为$P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2},P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$，利用来自总体的样本值1、3、2、2、1、3、1、2，可得$\theta$的最大似然估计值为
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{2}$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{4}$
解析
步骤 1：构造似然函数
根据题目给出的概率分布，样本值为1、3、2、2、1、3、1、2，其中1出现了3次，2出现了3次，3出现了2次。因此，似然函数为：
\[ L(\theta) = \left( \frac{1-\theta}{2} \right)^3 \left( \frac{1+\theta}{4} \right)^5 \]
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数：
\[ \ln L(\theta) = 3 \ln \left( \frac{1-\theta}{2} \right) + 5 \ln \left( \frac{1+\theta}{4} \right) \]
步骤 3：求导并令其为零
对对数似然函数求导，并令导数为零，以求得$\theta$的值：
\[ \frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} = 0 \]
解得：
\[ \theta = \frac{1}{4} \]
根据题目给出的概率分布，样本值为1、3、2、2、1、3、1、2，其中1出现了3次，2出现了3次，3出现了2次。因此，似然函数为：
\[ L(\theta) = \left( \frac{1-\theta}{2} \right)^3 \left( \frac{1+\theta}{4} \right)^5 \]
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数：
\[ \ln L(\theta) = 3 \ln \left( \frac{1-\theta}{2} \right) + 5 \ln \left( \frac{1+\theta}{4} \right) \]
步骤 3：求导并令其为零
对对数似然函数求导，并令导数为零，以求得$\theta$的值：
\[ \frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} = 0 \]
解得：
\[ \theta = \frac{1}{4} \]