题目
2 设一批产品共100只，其中有10只次品，从中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只数，分别求出在不放回抽样和有放回抽样两种情形下X的分布律.
2 设一批产品共100只，其中有10只次品，从中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只数，分别求出在不放回抽样和有放回抽样两种情形下X的分布律.
题目解答
答案
**有放回抽样：**
每次抽到次品概率为 $0.1$，正品为 $0.9$。
$X$ 服从二项分布 $B(3, 0.1)$，概率为：
\[
\boxed{
\begin{array}{c|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
P & \frac{729}{1000} & \frac{243}{1000} & \frac{27}{1000} & \frac{1}{1000} \\
\end{array}
}
\]
**不放回抽样：**
$X$ 服从超几何分布，概率为：
\[
\boxed{
\begin{array}{c|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
P & \frac{\binom{90}{3}}{\binom{100}{3}} & \frac{\binom{10}{1}\binom{90}{2}}{\binom{100}{3}} & \frac{\binom{10}{2}\binom{90}{1}}{\binom{100}{3}} & \frac{\binom{10}{3}}{\binom{100}{3}} \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：有放回抽样
在有放回抽样中，每次抽到次品的概率为 $0.1$，抽到正品的概率为 $0.9$。由于每次抽样是独立的，因此 $X$ 服从二项分布 $B(3, 0.1)$。二项分布的概率公式为：
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
其中 $n = 3$，$p = 0.1$，$k$ 为次品的数量，$k = 0, 1, 2, 3$。
步骤 2：计算有放回抽样下的分布律
根据二项分布的概率公式，计算 $X$ 的分布律：
\[ P(X = 0) = \binom{3}{0} (0.1)^0 (0.9)^3 = \frac{729}{1000} \]
\[ P(X = 1) = \binom{3}{1} (0.1)^1 (0.9)^2 = \frac{243}{1000} \]
\[ P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.1)^2 (0.9)^1 = \frac{27}{1000} \]
\[ P(X = 3) = \binom{3}{3} (0.1)^3 (0.9)^0 = \frac{1}{1000} \]
步骤 3：不放回抽样
在不放回抽样中，$X$ 服从超几何分布。超几何分布的概率公式为：
\[ P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]
其中 $N = 100$，$M = 10$，$n = 3$，$k$ 为次品的数量，$k = 0, 1, 2, 3$。
步骤 4：计算不放回抽样下的分布律
根据超几何分布的概率公式，计算 $X$ 的分布律：
\[ P(X = 0) = \frac{\binom{10}{0} \binom{90}{3}}{\binom{100}{3}} \]
\[ P(X = 1) = \frac{\binom{10}{1} \binom{90}{2}}{\binom{100}{3}} \]
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{10}{2} \binom{90}{1}}{\binom{100}{3}} \]
\[ P(X = 3) = \frac{\binom{10}{3} \binom{90}{0}}{\binom{100}{3}} \]
在有放回抽样中，每次抽到次品的概率为 $0.1$，抽到正品的概率为 $0.9$。由于每次抽样是独立的，因此 $X$ 服从二项分布 $B(3, 0.1)$。二项分布的概率公式为：
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
其中 $n = 3$，$p = 0.1$，$k$ 为次品的数量，$k = 0, 1, 2, 3$。
步骤 2：计算有放回抽样下的分布律
根据二项分布的概率公式，计算 $X$ 的分布律：
\[ P(X = 0) = \binom{3}{0} (0.1)^0 (0.9)^3 = \frac{729}{1000} \]
\[ P(X = 1) = \binom{3}{1} (0.1)^1 (0.9)^2 = \frac{243}{1000} \]
\[ P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.1)^2 (0.9)^1 = \frac{27}{1000} \]
\[ P(X = 3) = \binom{3}{3} (0.1)^3 (0.9)^0 = \frac{1}{1000} \]
步骤 3：不放回抽样
在不放回抽样中，$X$ 服从超几何分布。超几何分布的概率公式为：
\[ P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]
其中 $N = 100$，$M = 10$，$n = 3$，$k$ 为次品的数量，$k = 0, 1, 2, 3$。
步骤 4：计算不放回抽样下的分布律
根据超几何分布的概率公式，计算 $X$ 的分布律：
\[ P(X = 0) = \frac{\binom{10}{0} \binom{90}{3}}{\binom{100}{3}} \]
\[ P(X = 1) = \frac{\binom{10}{1} \binom{90}{2}}{\binom{100}{3}} \]
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{10}{2} \binom{90}{1}}{\binom{100}{3}} \]
\[ P(X = 3) = \frac{\binom{10}{3} \binom{90}{0}}{\binom{100}{3}} \]