题目
(8)设男、女大学生月饮食费支出(单位：元)分别服从N(mu_(1),202),N(mu_(2),278)，为研究男、女大学生在月饮食费支出上的差异，在某大学随机抽取30名男生和30名女生，得到以下结果：男生：overline(x)_(1)=520,s_(1)^2=200;女生：overline(x)_(2)=480,s_(2)^2=280.试求均值差mu_(1)-mu_(2)的置信度为90%的置信区间.
(8)设男、女大学生月饮食费支出(单位：元)分别服从$N(\mu_{1},202),N(\mu_{2},278)$，为研究
男、女大学生在月饮食费支出上的差异，在某大学随机抽取30名男生和30名女生，得到以
下结果：
男生：$\overline{x}_{1}=520,s_{1}^{2}=200$;
女生：$\overline{x}_{2}=480,s_{2}^{2}=280$.
试求均值差$\mu_{1}-\mu_{2}$的置信度为90%的置信区间.
题目解答
答案
已知条件：
- 男大学生：$\overline{x}_1 = 520$，$\sigma_1^2 = 202$，$n_1 = 30$
- 女大学生：$\overline{x}_2 = 480$，$\sigma_2^2 = 278$，$n_2 = 30$
- 置信度90%，$z_{0.05} = 1.645$
计算均值差：
\[
\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 520 - 480 = 40
\]
计算标准误：
\[
\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{202 + 278}{30}} = 4
\]
计算置信区间：
\[
40 \pm 1.645 \times 4 = (33.42, 46.58)
\]
**答案：**
\[
\boxed{(33.42, 46.58)}
\]
解析
步骤 1：计算均值差
根据题目给出的数据，男大学生的样本均值为$\overline{x}_1 = 520$，女大学生的样本均值为$\overline{x}_2 = 480$。因此，均值差为：
\[ \overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 520 - 480 = 40 \]
步骤 2：计算标准误
由于题目中给出的是总体方差，而不是样本方差，因此我们使用总体方差来计算标准误。标准误的计算公式为：
\[ \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \]
其中，$\sigma_1^2 = 202$，$\sigma_2^2 = 278$，$n_1 = 30$，$n_2 = 30$。代入公式得：
\[ \sqrt{\frac{202}{30} + \frac{278}{30}} = \sqrt{\frac{202 + 278}{30}} = \sqrt{\frac{480}{30}} = \sqrt{16} = 4 \]
步骤 3：计算置信区间
置信度为90%，对应的$z$值为$z_{0.05} = 1.645$。置信区间的计算公式为：
\[ (\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm z_{0.05} \times \text{标准误} \]
代入计算得：
\[ 40 \pm 1.645 \times 4 = 40 \pm 6.58 \]
因此，置信区间为$(33.42, 46.58)$。
根据题目给出的数据，男大学生的样本均值为$\overline{x}_1 = 520$，女大学生的样本均值为$\overline{x}_2 = 480$。因此，均值差为：
\[ \overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 520 - 480 = 40 \]
步骤 2：计算标准误
由于题目中给出的是总体方差，而不是样本方差，因此我们使用总体方差来计算标准误。标准误的计算公式为：
\[ \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \]
其中，$\sigma_1^2 = 202$，$\sigma_2^2 = 278$，$n_1 = 30$，$n_2 = 30$。代入公式得：
\[ \sqrt{\frac{202}{30} + \frac{278}{30}} = \sqrt{\frac{202 + 278}{30}} = \sqrt{\frac{480}{30}} = \sqrt{16} = 4 \]
步骤 3：计算置信区间
置信度为90%，对应的$z$值为$z_{0.05} = 1.645$。置信区间的计算公式为：
\[ (\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm z_{0.05} \times \text{标准误} \]
代入计算得：
\[ 40 \pm 1.645 \times 4 = 40 \pm 6.58 \]
因此，置信区间为$(33.42, 46.58)$。