1.如果向量组alpha_(1)=(1,2,3)^T,alpha_(2)=(3,-1,2)^T,alpha_(3)=(2,3,m)^T线性相关，则m=underline([填空1])
题目解答
答案
将向量组构成矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & m \end{pmatrix}$。
由于向量组线性相关，矩阵 $A$ 的行列式为零。
计算行列式：
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & m \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & m \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & m \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$
$= 1 \cdot (-m - 6) - 3 \cdot (2m - 9) + 2 \cdot 7 = -m - 6 - 6m + 27 + 14 = -7m + 35$
令行列式等于零：
$-7m + 35 = 0 \implies m = 5$
答案： $\boxed{5}$
解析
本题考察向量组线性相关的性质。向量组线性相关的充要条件是由这些向量构成的矩阵的行列式为零（针对向量个数等于维数的情况）。
步骤1：构造矩阵
给定向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(3,-1,2)^T$，$\alpha_3=(2,3,m)^T$，将它们作为矩阵$A$的列向量，得到：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & m \end{pmatrix}$
步骤2：计算行列式
向量组线性相关等价于$\det(A)=0$，计算行列式：
$\begin{align*}\det(A)&=1\cdot\begin{vmatrix}-1&3\\2&m\end{vmatrix}-3\cdot\begin{vmatrix}2&3\\3&m\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}2&-1\\3&2\end{vmatrix}\\&=1\cdot(-m-6)-3\cdot(2m-9)+2\cdot(4+3)\\&=(-m-6)-3\cdot(2m-9)+2\cdot7\\&=-m-6-6m+27+14\\&=-7m+35\end{align*}$
步骤3：求解$m$
令$\det(A)=0$：
$-7m+35=0\implies m=5$