3.今有一批钢材,其屈服点X服从正态分布N(μ,σ^2),其中μ与σ^2均未知今随-|||-机地抽取16个样本,得样本均值 overline (x)=5.36, 样本方差 ^2=((0.2203))^2 问可否认为-|||-总体均值 mu =5:(alpha =0.05)

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，用于判断总体均值是否等于某个特定值（此处为$\mu=5$）。由于总体方差未知且样本量较小（$n=16$），需使用t检验而非z检验。

解题核心思路：

1. 确定假设形式：原假设$H_0: \mu=5$，备择假设$H_1: \mu \neq 5$（双侧检验）。
2. 计算t统计量：公式为$T = \frac{\overline{x} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$，其中$\overline{x}$为样本均值，$S$为样本标准差。
3. 确定临界值：根据自由度（$n-1=15$）和显著性水平$\alpha=0.05$，查t分布表得到临界值。
4. 比较t值与临界值：若$|T|$超过临界值，则拒绝原假设。

破题关键点：

• 正确选择检验方法（t检验）。
• 准确计算t统计量，注意样本标准差的开方处理。
• 正确判断拒绝域，双侧检验需考虑绝对值。

步骤1：建立假设

• 原假设：$H_0: \mu = 5$
• 备择假设：$H_1: \mu \neq 5$（双侧检验）

步骤2：计算t统计量

已知：

• 样本均值$\overline{x} = 5.36$
• 样本方差$S^2 = (0.2203)^2$，故样本标准差$S = 0.2203$
• 样本量$n = 16$

代入公式：
$T = \frac{\overline{x} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} = \frac{5.36 - 5}{0.2203/\sqrt{16}} = \frac{0.36}{0.2203/4} \approx \frac{0.36}{0.055075} \approx 6.535$

步骤3：确定临界值

• 自由度：$df = n - 1 = 15$
• 显著性水平$\alpha = 0.05$，双侧检验临界值为$\pm t_{\alpha/2, df} = \pm t_{0.025, 15} \approx \pm 2.130$

步骤4：决策

计算得$|T| \approx 6.535 > 2.130$，落入拒绝域，拒绝原假设，即总体均值$\mu$不等于5。