8【单选题】设X_(1),...,X_(n)为总体N(mu,sigma^2)的一个样本，已知hat(sigma)^2=Csum_(i=1)^n-1(X_(i+1)-X_(i))^2为σ的无偏估计量，则常数C等于A. (1)/(2(n-1))B. (1)/(n)C. (1)/(n-1)D. (1)/(2n)

本题考查无偏估计量的概念以及正态分布的性质，解题的关键在于利用无偏估计量的定义，即估计量的期望等于被估计的参数，通过计算$\hat{\sigma}^{2}$的期望并令其等于$\sigma^{2}$，从而求出常数$C$。

1. 首先明确无偏估计量的定义：
   若$\hat{\theta}$是总体参数$\theta$的无偏估计量，则$E(\hat{\theta}) = \theta$。已知$\hat{\sigma}^{2}=C\sum_{i = 1}^{n - 1}(X_{i + 1} - X_{i})^{2}$为$\sigma^{2}$的无偏估计量，所以$E(\hat{\sigma}^{2}) = \sigma^{2}$。
2. 然后计算$E(\hat{\sigma}^{2})$：
   根据期望的性质$E(aY)=aE(Y)$（$a$为常数，$Y$为随机变量），可得$E(\hat{\sigma}^{2}) = E\left[C\sum_{i = 1}^{n - 1}(X_{i + 1} - X_{i})^{2}\right]=C\sum_{i = 1}^{n - 1}E\left[(X_{i + 1} - X_{i})^{2}\right]$。
3. 接着求$E\left[(X_{i + 1} - X_{i})^{2}\right]$：
   因为$X_{1},\cdots,X_{n}$为总体$N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，所以$X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{i + 1}\sim N(\mu,\sigma^{2})$，且$X_{i}$与$X_{i + 1}$相互独立。
   根据方差的定义$D(Y)=E(Y^{2})-[E(Y)]^{2}$，可得$E\left[(X_{i + 1} - X_{i})^{2}\right]=D(X_{i + 1} - X_{i}) + [E(X_{i + 1} - X_{i})]^{2}$。
   • 计算$E(X_{i + 1} - X_{i})$：
     由于$E(X_{i + 1}) = \mu$，$E(X_{i}) = \mu$，根据期望的性质$E(aY + bZ)=aE(Y)+bE(Z)$（$a,b$为常数，$Y,Z$为随机变量），可得$E(X_{i + 1} - X_{i}) = E(X_{i + 1}) - E(X_{i}) = \mu - \mu = 0$。
   • 计算$D(X_{i + 1} - X_{i})$：
     因为$X_{i}$与$X_{i + 1}$相互独立，根据方差的性质$D(aY + bZ)=a^{2}D(Y)+b^{2}D(Z)$（$a,b$为常数，$Y,Z$为相互独立的随机变量），可得$D(X_{i + 1} - X_{i}) = D(X_{i + 1}) + D(X_{i}) = \sigma^{2} + \sigma^{2} = 2\sigma^{2}$。
   • 所以$E\left[(X_{i + 1} - X_{i})^{2}\right]=2\sigma^{2} + 0^{2} = 2\sigma^{2}$。
4. 再将$E\left[(X_{i + 1} - X_{i})^{2}\right]=2\sigma^{2}$代入$E(\hat{\sigma}^{2})$的表达式：
   $E(\hat{\sigma}^{2}) = C\sum_{i = 1}^{n - 1}E\left[(X_{i + 1} - X_{i})^{2}\right]=C\sum_{i = 1}^{n - 1}2\sigma^{2}=2C(n - 1)\sigma^{2}$。
5. 最后根据无偏估计量的定义求解$C$：
   因为$E(\hat{\sigma}^{2}) = \sigma^{2}$，所以$2C(n - 1)\sigma^{2} = \sigma^{2}$。
   由于$\sigma^{2}\gt0$，两边同时除以$\sigma^{2}$可得$2C(n - 1) = 1$，解得$C = \frac{1}{2(n - 1)}$。