题目
设X,Y是两个随机变量，若 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ，则下列式子一定成立的是 ( A )X,Y 相互独立 ( B )X,Y 相关 ( C )E (XY)=E(X)E(Y)( D )D(X-Y)=D(X)-D(Y)
设X,Y是两个随机变量，若 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ，则下列式子一定成立的是
( A )X,Y 相互独立
( B )X,Y 相关
( C )E (XY)=E(X)E(Y)
( D )D(X-Y)=D(X)-D(Y)
题目解答
答案
由公式D(X+Y)=D(X)+D(Y)-Cov(X,Y)可知随机变量X,Y的Cov(X,Y)=0，所以X,Y不相关，但并不一定独立，故AB选项错误。
再由公式D(X-Y)=D(X)+D(Y)+Cov(X,Y)可知D选项错误。
由公式Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0可知EXY=EXEY，故本题答案为C。
解析
步骤 1：理解方差公式
方差的性质之一是：对于两个随机变量X和Y，其和的方差D(X+Y)等于各自方差之和加上它们的协方差，即D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)。当D(X+Y) = D(X) + D(Y)时，意味着2Cov(X,Y) = 0，即Cov(X,Y) = 0。
步骤 2：分析协方差为零的含义
协方差Cov(X,Y) = 0意味着随机变量X和Y不相关。不相关并不意味着X和Y相互独立，因为独立性是比不相关更强的条件。因此，选项A和B都不正确。
步骤 3：验证选项C
由于Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)，当Cov(X,Y) = 0时，有E(XY) = E(X)E(Y)。因此，选项C是正确的。
步骤 4：分析选项D
对于D(X-Y)，根据方差的性质，有D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。由于Cov(X,Y) = 0，所以D(X-Y) = D(X) + D(Y)，而不是D(X) - D(Y)。因此，选项D不正确。
方差的性质之一是：对于两个随机变量X和Y，其和的方差D(X+Y)等于各自方差之和加上它们的协方差，即D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)。当D(X+Y) = D(X) + D(Y)时，意味着2Cov(X,Y) = 0，即Cov(X,Y) = 0。
步骤 2：分析协方差为零的含义
协方差Cov(X,Y) = 0意味着随机变量X和Y不相关。不相关并不意味着X和Y相互独立，因为独立性是比不相关更强的条件。因此，选项A和B都不正确。
步骤 3：验证选项C
由于Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)，当Cov(X,Y) = 0时，有E(XY) = E(X)E(Y)。因此，选项C是正确的。
步骤 4：分析选项D
对于D(X-Y)，根据方差的性质，有D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。由于Cov(X,Y) = 0，所以D(X-Y) = D(X) + D(Y)，而不是D(X) - D(Y)。因此，选项D不正确。