题目
4.由正态总体N(μ,σ^2)抽取容量为20的样本,试求 (10(sigma )^2leqslant sum _(i=1)^20(({x)_(i)-mu )}^2-|||-leqslant 30(sigma )^2) .
题目解答
答案
解析
步骤 1：标准化样本
由于 ${x}_{i}\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$ ，所以 $\dfrac {{x}_{i}-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$ 。
步骤 2：计算卡方分布
$\sum _{i=1}^{20}\dfrac {{({x}_{i}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(20)$ ，即样本方差的20倍服从自由度为20的卡方分布。
步骤 3：计算概率
$P(10{\sigma }^{2}\leqslant \sum _{i=1}^{20}{({x}_{i}-\mu )}^{2}\leqslant 30{\sigma }^{2})=P(10\leqslant \dfrac {\sum _{i=1}^{20}{({x}_{i}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 30)$
$={k}_{20}(30)-{k}_{20}(10)$
其中 ${k}_{20}(x)$ 表示自由度为20的卡方分布在x处的分布函数值。
步骤 4：利用统计软件计算
使用MATLAB软件计算上式：在命令行输入 chi2cdf (30,20)则给出0.9301，输入chi2cdf(10,20)则给出0.0318，直接输入 $chi2cdf(30,20)-chi2cdf(10,20)$ 则一次性给出0.8983。
由于 ${x}_{i}\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$ ，所以 $\dfrac {{x}_{i}-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$ 。
步骤 2：计算卡方分布
$\sum _{i=1}^{20}\dfrac {{({x}_{i}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(20)$ ，即样本方差的20倍服从自由度为20的卡方分布。
步骤 3：计算概率
$P(10{\sigma }^{2}\leqslant \sum _{i=1}^{20}{({x}_{i}-\mu )}^{2}\leqslant 30{\sigma }^{2})=P(10\leqslant \dfrac {\sum _{i=1}^{20}{({x}_{i}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 30)$
$={k}_{20}(30)-{k}_{20}(10)$
其中 ${k}_{20}(x)$ 表示自由度为20的卡方分布在x处的分布函数值。
步骤 4：利用统计软件计算
使用MATLAB软件计算上式：在命令行输入 chi2cdf (30,20)则给出0.9301，输入chi2cdf(10,20)则给出0.0318，直接输入 $chi2cdf(30,20)-chi2cdf(10,20)$ 则一次性给出0.8983。