题目
与矩阵A= 1 2 0 2 4 0 0 0 4 等价的矩阵是（ ） A． 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B． 1 0 0 0 2 0 0 0 0 C． 1 0 0 0 2 0 0 0 3 D． 1 0 0 0 2 0 0 0 4
与矩阵A=
等价的矩阵是（ ）
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题目解答
答案
由等价矩阵的性质可知，经过若干次初等变换，矩阵等价，
先进行初等行变换：
再将第三列和第二列互换位置：
故选择：B.
解析
步骤 1：初等行变换
对矩阵A进行初等行变换，目的是将矩阵化简为阶梯形矩阵。首先，将第二行减去第一行的两倍，得到：
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \]
步骤 2：初等列变换
接下来，将第三列和第二列互换位置，得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{bmatrix} \]
步骤 3：进一步化简
将第二行和第三行互换位置，得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
步骤 4：化简为最简形式
将第三列减去第一列的两倍，得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
对矩阵A进行初等行变换，目的是将矩阵化简为阶梯形矩阵。首先，将第二行减去第一行的两倍，得到：
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \]
步骤 2：初等列变换
接下来，将第三列和第二列互换位置，得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{bmatrix} \]
步骤 3：进一步化简
将第二行和第三行互换位置，得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
步骤 4：化简为最简形式
将第三列减去第一列的两倍，得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]