题目
如图7所示的弹簧振子,已知弹簧的劲度系数为k, m-|||-物体的质量为M,与水平支撑面光滑接触。开始时弹簧为 M square v-|||-原长,物体以速度v向x轴正方向运动。一质量为m、从其 x-|||-正上方下落的黏土正好落在物体上,取黏土落到物体上的瞬 O-|||-间为计时零点。求黏土落在物体上后,弹簧振子和泥土组成 图 7-|||-的系统的振动表达式。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定系统振动的角频率
根据弹簧振子的振动特性，角频率 $\omega$ 可以通过公式 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_{\text{总}}}}$ 计算，其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，$m_{\text{总}}$ 是系统总质量，即 $m_{\text{总}} = M + m$。
步骤 2：确定系统的初始条件
在黏土落到物体上的瞬间，系统开始振动，此时弹簧处于原长，即 $x_0 = 0$。由于黏土和物体发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律，碰撞后系统的速度 $v_0$ 可以通过公式 $v_0 = \frac{Mv}{M + m}$ 计算。
步骤 3：确定系统的振动表达式
根据简谐振动的表达式 $x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$，其中 $A$ 是振幅，$\varphi_0$ 是初相位。由于 $x_0 = 0$，所以 $\varphi_0 = \pm \frac{\pi}{2}$。根据速度 $v_0$ 的方向，可以确定 $\varphi_0 = -\frac{\pi}{2}$。振幅 $A$ 可以通过能量守恒定律计算，即 $\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}(M + m)v_0^2$。
根据弹簧振子的振动特性，角频率 $\omega$ 可以通过公式 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_{\text{总}}}}$ 计算，其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，$m_{\text{总}}$ 是系统总质量，即 $m_{\text{总}} = M + m$。
步骤 2：确定系统的初始条件
在黏土落到物体上的瞬间，系统开始振动，此时弹簧处于原长，即 $x_0 = 0$。由于黏土和物体发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律，碰撞后系统的速度 $v_0$ 可以通过公式 $v_0 = \frac{Mv}{M + m}$ 计算。
步骤 3：确定系统的振动表达式
根据简谐振动的表达式 $x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$，其中 $A$ 是振幅，$\varphi_0$ 是初相位。由于 $x_0 = 0$，所以 $\varphi_0 = \pm \frac{\pi}{2}$。根据速度 $v_0$ 的方向，可以确定 $\varphi_0 = -\frac{\pi}{2}$。振幅 $A$ 可以通过能量守恒定律计算，即 $\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}(M + m)v_0^2$。