若 lim_(x to 0) (f(x))/(x) = 1，则在原点的某去心邻域函数 f(x) 满足（）A. x > 0 时，f(x) > 0B. x 0C. x D. x > 0 时，f(x)

本题考查函数极限的局部保号性。解题思路是根据已知极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$，利用极限的局部保号性来判断函数$f(x)$在原点某去心邻域内的符号情况。

步骤一：分析极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$

因为极限值$1\gt{}0$，根据极限的局部保号性定理：如果$\lim_{x \to x_0} g(x)=A$，且$A\gt{}0$（或$A \lt 0$），那么存在常数$\delta\gt{}0$，使得当$0\lt{}|x - x_0|\lt{}\delta$时，有$g(x)\gt{}0$（或$g(x)\lt{}0$）。
在这里$g(x)=\frac{f(x)}{x}$，$x_0 = 0$，$A = 1$，所以存在$\delta\gt{}0$，当$0\lt{}|x - 0|\lt{}\delta$，即$0\lt{}|x|\lt{}\delta$时，$\frac{f(x)}{x}\gt{}0$。

步骤二：分情况讨论$x$的正负

• 当$x\gt{}0$时：
  由于$0\lt{}|x|\lt{}\delta$且$x\gt{}0$，此时$\frac{f(x)}{x}\gt{}0$，因为$x\gt{}0$，不等式两边同时乘以$x$，不等号方向不变，得到$f(x)\gt{}0$。
• 当$x\lt{}0$时：
  同样因为$0\lt{}|x|\lt{}\delta$且$x\lt{}0$，$\frac{f(x)}{x}\gt{}0$，不等式两边同时乘以$x$，不等号方向改变，得到$f(x)\lt{}0$。

综上，在原点的某去心邻域内，当$x \gt 0$时，$f(x) \gt 0$；当$x \lt 0$时，$f(x) \lt 0$。