题目
一质点沿半径R = 1 m的圆周运动,其路程与时间的关系为 =2+2(t)^2(m),那么,从开始计时到总加速度a恰好与半径成45°角时,质点所经过的路程s = m。
一质点沿半径R = 1 m的圆周运动,其路程与时间的关系为 
(m),那么,从开始
计时到总加速度a恰好与半径成45°角时,质点所经过的路程s = m。
题目解答
答案
解:
由题意:
得 
故 
解析
步骤 1：确定速度和加速度
给定的路程与时间的关系为 $s(t) = 4t^2$。首先，我们计算速度 $v(t)$，它是路程对时间的导数，即 $v(t) = \frac{ds}{dt} = 8t$。然后，我们计算加速度 $a(t)$，它是速度对时间的导数，即 $a(t) = \frac{dv}{dt} = 8$。由于质点沿圆周运动，加速度可以分解为切向加速度 $a_t$ 和法向加速度 $a_n$。切向加速度 $a_t$ 为 $8$，法向加速度 $a_n$ 为 $\frac{v^2}{R} = \frac{(8t)^2}{1} = 64t^2$。
步骤 2：确定加速度与半径成45°角的条件
当总加速度 $a$ 与半径成45°角时，切向加速度 $a_t$ 和法向加速度 $a_n$ 的大小相等，即 $a_t = a_n$。因此，我们有 $8 = 64t^2$。解这个方程，得到 $t^2 = \frac{1}{8}$，从而 $t = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
步骤 3：计算质点所经过的路程
将 $t = \frac{\sqrt{2}}{4}$ 代入路程与时间的关系式 $s(t) = 4t^2$，得到 $s = 4\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 4\left(\frac{2}{16}\right) = \frac{1}{2}$。因此，质点所经过的路程为 $0.5$ 米。
给定的路程与时间的关系为 $s(t) = 4t^2$。首先，我们计算速度 $v(t)$，它是路程对时间的导数，即 $v(t) = \frac{ds}{dt} = 8t$。然后，我们计算加速度 $a(t)$，它是速度对时间的导数，即 $a(t) = \frac{dv}{dt} = 8$。由于质点沿圆周运动，加速度可以分解为切向加速度 $a_t$ 和法向加速度 $a_n$。切向加速度 $a_t$ 为 $8$，法向加速度 $a_n$ 为 $\frac{v^2}{R} = \frac{(8t)^2}{1} = 64t^2$。
步骤 2：确定加速度与半径成45°角的条件
当总加速度 $a$ 与半径成45°角时，切向加速度 $a_t$ 和法向加速度 $a_n$ 的大小相等，即 $a_t = a_n$。因此，我们有 $8 = 64t^2$。解这个方程，得到 $t^2 = \frac{1}{8}$，从而 $t = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
步骤 3：计算质点所经过的路程
将 $t = \frac{\sqrt{2}}{4}$ 代入路程与时间的关系式 $s(t) = 4t^2$，得到 $s = 4\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 4\left(\frac{2}{16}\right) = \frac{1}{2}$。因此，质点所经过的路程为 $0.5$ 米。