题目

29.设随机变量X的分布律为}X&-2&-1&0&1&3P&(1)/(5)&(1)/(6)&(1)/(5)&(1)/(15)&(11)/(30)，则Y=X²的分布律为( ).A.}Y=X^2&0&1&4&9P&(1)/(5)&(1)/(6)&(1)/(5)&(11)/(30)B.}Y=X^2&0&1&4&9P&(1)/(5)&(1)/(15)&(1)/(5)&(11)/(30)C.}Y=X^2&0&1&4&9P&(1)/(5)&(1)/(6)&(1)/(15)&(11)/(30)D.}Y=X^2&0&1&4&9P&(1)/(5)&(7)/(30)&(1)/(5)&(11)/(30)

29.设随机变量X的分布律为$\begin{pmatrix}X&-2&-1&0&1&3\\P&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{5}&\frac{1}{15}&\frac{11}{30}\end{pmatrix}$，则Y=X²的分布律为( ). A.$\begin{pmatrix}Y=X^{2}&0&1&4&9\\P&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{5}&\frac{11}{30}\end{pmatrix}$ B.$\begin{pmatrix}Y=X^{2}&0&1&4&9\\P&\frac{1}{5}&\frac{1}{15}&\frac{1}{5}&\frac{11}{30}\end{pmatrix}$ C.$\begin{pmatrix}Y=X^{2}&0&1&4&9\\P&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{15}&\frac{11}{30}\end{pmatrix}$ D.$\begin{pmatrix}Y=X^{2}&0&1&4&9\\P&\frac{1}{5}&\frac{7}{30}&\frac{1}{5}&\frac{11}{30}\end{pmatrix}$

题目解答

答案

设随机变量 $X$ 的分布律为： \[ \begin{array}{cc} X & -2 & -1 & 0 & 1 & 3 \\ \hline P & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{5} & \frac{1}{15} & \frac{11}{30} \\ \end{array} \] 则 $Y = X^2$ 的可能取值为 $0, 1, 4, 9$。 计算每个取值的概率： - $P(Y = 0) = P(X = 0) = \frac{1}{5}$， - $P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{15} = \frac{7}{30}$， - $P(Y = 4) = P(X = -2) = \frac{1}{5}$， - $P(Y = 9) = P(X = 3) = \frac{11}{30}$。 因此，$Y$ 的分布律为： \[ \boxed{ \begin{array}{cc} Y & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline P & \frac{1}{5} & \frac{7}{30} & \frac{1}{5} & \frac{11}{30} \\ \end{array} } \] 正确选项为 $\boxed{D}$。

解析

本题考查离散型随机变量函数的分布律。解题思路是先根据$Y = X^2$确定$Y$的所有可能取值，再分别计算$Y$取每个值时对应的概率。

步骤一：确定$Y = X^2$的所有可能取值

已知随机变量$X$的取值为$-2$，$-1$，$0$，$1$，$3$，将其分别代入$Y = X^2$可得：
当$X = -2$时，$Y = (-2)^2 = 4$；
当$X = -1$时，$Y = (-1)^2 = 1$；
当$X = 0$时，$Y = 0^2 = 0$；
当$X = 1$时，$Y = 1^2 = 1$；
当$X = 3$时，$Y = 3^2 = 9$。
所以$Y$的可能取值为$0$，$1$，$4$，$9$。

步骤二：计算$Y$取每个值时的概率

  • 计算$P(Y = 0)$：
    $Y = 0$时，$X = 0$，已知$P(X = 0)=\frac{1}{5}$，所以$P(Y = 0) = P(X = 0) = \frac{1}{5}$。
  • 计算$P(Y = 1)$：
    $Y = 1$时，$X = -1$或$X = 1$，因为$X$取$-1$和$1$这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$，可得：
    $P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1)$
    已知$P(X = -1)=\frac{1}{6}$，$P(X = 1)=\frac{1}{15}$，则：
    $P(Y = 1)=\frac{1}{6} + \frac{1}{15}$
    先通分，$6$和$15$的最小公倍数是$30$，则$\frac{1}{6} + \frac{1}{15}=\frac{5}{30} + \frac{2}{30}=\frac{7}{30}$。
  • 计算$P(Y = 4)$：
    $Y = 4$时，$X = -2$，已知$P(X = -2)=\frac{1}{5}$，所以$P(Y = 4) = P(X = -2) = \frac{1}{5}$。
  • 计算$P(Y = 9)$：
    $Y = 9$时，$X = 3$，已知$P(X = 3)=\frac{11}{30}$，所以$P(Y = 9) = P(X = 3) = \frac{11}{30}$。

综上，$Y = X^2$的分布律为$\begin{pmatrix}Y=X^{2}&0&1&4&9\\P&\frac{1}{5}&\frac{7}{30}&\frac{1}{5}&\frac{11}{30}\end{pmatrix}$。