题目

测得两批电子器材的电阻值(单位:Ω )分别为:-|||-A批:13.0,13.2,13.4,13.6,13.8,14.2,14.8,15.2-|||-B批:13.3,13.5,13.7,14.2,14.6,14.9,15.4,15.8-|||-设A批器材的电阻 sim N((M)_(1),({sigma )_(1)}^2) ,B批器材的电阻 sim N((M)_(2),({O)_(2)}^2) ,而且总体相互-|||-独立.在显著性水平 alpha =0.05 下,检验两批器材的电阻的方差是否有显著性差-|||-异?

$\begin{aligned}&\text{测得两批电子器材的电阻值(单位:}\Omega\text{)分别为:}\\&\text{A 批:13.0,13.2,13.4,13.6,13.8,14.2,14.8,15.2}\\&\text{B 批:13.3,13.5,13.7,14.2,14.6,14.9,15.4,15.8}\\&设A批器材的电阻X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),B批器材的电阻Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}),而且总体相互\\&独立.在显著性水平\alpha=0.05下,检验两批器材的电阻的方差是否有显著性差\\&\text{异?}\end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &要检验两批电子器材的电阻方差是否有显著性差异, \\ &\text{我们将使用F检验。F检验用于比较两个独立正态总} \\ &\text{体的方差。} \\ &第一步:计算样本方差 \\ &首先,我们需要计算两批电子器材的样本均值和样本 \\ &\text{方差。} \\ &A批: \\ &样本数据: \\ &13.0,13.2,13.4,13.6,13.8,14.2,14.8,15.2 \\ &样本均值: \\ &\bar{x}=\frac{13.0+13.2+13.4+13.6+13.8+14.2+14.8+15.2}{8}= \\ &\frac{112.0}{8}=14.0 \\ &样本方差: \\ &s_1^2=\frac17\sum_{i=1}^8(x_i-\bar{x})^2=\frac17[(13.0-14.0)^2+ \\ &(13.2-14.0)^2+\cdots+(15.2-14.0)^2] \\ &s_1^2=\frac{1}{7}[1.0+0.64+0.16+0.16+0.04+ \\ &1.44+0.64+1.44]=\frac{5.52}{7}\approx0.7886 \end{aligned}$ $\begin{aligned} &B批: \\ &样本数据: \\ &13.3,13.5,13.7,14.2,14.6,14.9,15.4,15.8 \\ &\text{样本均值:} \\ &\bar{y}=\frac{13.3+13.5+13.7+14.2+14.6+14.9+15.4+15.8}{8}= \\ &\frac{117.4}{8}=14.675 \\ &样本方差: \\ &s_{2}^{2}=\frac17\sum_{i=1}^{8}(y_{i}-\bar{y})^{2}=\frac17[(13.3- \\ &14.675)^2+(13.5-14.675)^2+\cdots+(15.8- \\ &14.675)^{2}] \\ &s_2^2=\frac{1}{7}[1.9425+1.4625+0.9025+ \\ &0.0225+0.0225+0.5625+0.5625+ \\ &1.3225]=\frac{6.8}{7}\approx0.9714 \end{aligned}$ $\begin{aligned} &第二步:执行F检验 \\ &\text{F检验的统计量为:} \\ &F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \\ &\text{这里,}s_{1}^{2}\approx0.7886\text{ 和 }s_{2}^{2}\approx0.9714\text{,所以:} \\ &F=\frac{0.7886}{0.9714}\approx0.8114 \\ &第三步:确定临界值 \\ &\text{在显著性水平 }\alpha=0.05\text{ 下,自由度为 }n_1-1=7 \\ &\text{和 }n_2-1=7\text{。从F分布表中,我们找到双尾检验} \\ &\text{的临界值 }F_{0.025,7,7}\text{ 和 }F_{0.975,7,7\text{。}} \\ &F_{0.025,7,7}\approx4.20\quad\text{和}\quad F_{0.975,7,7}\approx\frac{1}{4.20}\approx 0.2381\\ \end{aligned}$ $\begin{aligned} &第四步:\\ &由于0.2381<0.8114<4.20\text{,我们未能拒绝零} \\ &假设。这意味着在0.05显著性水平下,两批器材的电 \\ &阻方差没有显著性差异。 \\ &最终答案 \\ &{\text{两批器材的电阻方差没有显著性差异}} \end{aligned}$