设变量UND 1,λ2,△3的相关阵为UND 1,λ2,△3的特征值和单位化特征向量分别为(1)取公共因子个数为2,求因子载荷阵UND 1,λ2,△3。(2)计算变量共同度UND 1,λ2,△3及公共因子UND 1,λ2,△3的方差贡献,并说明其统计意义。

步骤 1：计算特征值和特征向量
首先，我们需要计算相关矩阵R的特征值和特征向量。相关矩阵R为：
$$
R = \begin{pmatrix}
1.00 & 0.63 & 0.45 \\
0.63 & 1.00 & 0.35 \\
0.45 & 0.35 & 1.00
\end{pmatrix}
$$
通过计算，我们得到特征值和对应的单位化特征向量：
特征值：$\lambda_1 = 1.96$，$\lambda_2 = 0.68$，$\lambda_3 = 0.36$
单位化特征向量：$v_1 = \begin{pmatrix} 0.63 \\ 0.59 \\ 0.51 \end{pmatrix}$，$v_2 = \begin{pmatrix} -0.22 \\ -0.49 \\ 0.84 \end{pmatrix}$，$v_3 = \begin{pmatrix} 0.76 \\ -0.64 \\ -0.12 \end{pmatrix}$

步骤 2：构造因子载荷阵
根据特征值和特征向量，我们可以构造因子载荷阵A。因子载荷阵A的元素为特征向量的元素乘以对应特征值的平方根。由于我们只取前两个公共因子，因此因子载荷阵A为：
$$
A = \begin{pmatrix}
0.63\sqrt{1.96} & -0.22\sqrt{0.68} \\
0.59\sqrt{1.96} & -0.49\sqrt{0.68} \\
0.51\sqrt{1.96} & 0.84\sqrt{0.68}
\end{pmatrix}
$$

步骤 3：计算变量共同度和公共因子的方差贡献
变量共同度$h_i^2$为因子载荷阵A中第i行元素的平方和。公共因子的方差贡献为特征值除以变量个数（这里是3）。
$$
h_1^2 = (0.63\sqrt{1.96})^2 + (-0.22\sqrt{0.68})^2
$$
$$
h_2^2 = (0.59\sqrt{1.96})^2 + (-0.49\sqrt{0.68})^2
$$
$$
h_3^2 = (0.51\sqrt{1.96})^2 + (0.84\sqrt{0.68})^2
$$
公共因子的方差贡献：
$$
\text{因子1的方差贡献} = \frac{1.96}{3}
$$
$$
\text{因子2的方差贡献} = \frac{0.68}{3}
$$