题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ..., X_n 是取自总体的简单随机样本。(X_1, X_2, ..., X_n) 的联合概率分布密度函数为【 】。 A. f(x_1, x_2, ..., x_n)= (1)/(sqrt(2pisigma)) e^-((x_1-mu)^2)/(2sigma^2) (-infty < x_i < infty, i=1,2,...,n)B. f(x_1, x_2, ..., x_n)= (2pisigma^2)^n/2 e^-(1)/(2sigma^2)sum_(i=1^n(x_i-mu)^2) (-infty < x_i < infty, i=1,2,...,n)C. f(x_1, x_2, ..., x_n)= (1)/(sqrt(2pisigma)) prod_(i=1)^n e^-((x_1-mu)^2)/(2sigma^2) (-infty < x_i < infty, i=1,2,...,n)D. f(x_1, x_2, ..., x_n)= (1)/(sqrt(2pisigma)) prod_(i=1)^n e^-((x_1-mu)^2)/(2sigma^2)，x_i > 0, i=1,2,...,n
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体的简单随机样本。$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 的联合概率分布密度函数为【 】。
- A. $f(x_1, x_2, \cdots, x_n)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-\frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2}} (-\infty < x_i < \infty, i=1,2,\cdots,n)$
- B. $f(x_1, x_2, \cdots, x_n)= \left(2\pi\sigma^2\right)^{n/2} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2} (-\infty < x_i < \infty, i=1,2,\cdots,n)$
- C. $f(x_1, x_2, \cdots, x_n)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \prod_{i=1}^n e^{-\frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2}} (-\infty < x_i < \infty, i=1,2,\cdots,n)$
- D. $f(x_1, x_2, \cdots, x_n)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \prod_{i=1}^n e^{-\frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，$x_i > 0, i=1,2,\cdots,n$
题目解答
答案
为了找到简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 从正态分布总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的联合概率密度函数，我们需要理解正态分布的性质以及独立随机变量的联合密度函数。
1. **单个正态随机变量的密度函数：**
单个正态随机变量 $X_i$ 的概率密度函数由下式给出：
\[
f(x_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
这可以重写为：
\[
f(x_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
2. **联合密度函数：**
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是独立的，联合概率密度函数是各个密度函数的乘积：
\[
f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = f(x_1) \cdot f(x_2) \cdot \cdots \cdot f(x_n)
\]
代入单个密度函数，我们得到：
\[
f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_1 - \mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_2 - \mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \cdots \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_n - \mu)^2}{2\sigma^2}} \right)
\]
这可以合并为：
\[
f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \right)^n e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2}
\]
简化指数前的项，我们得到：
\[
f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{n/2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2}
\]
3. **识别正确选项：**
将此与给定的选项进行比较，我们看到正确答案是：
\[
f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \right)^n e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2}
\]
这与选项 B 相匹配，但选项 B 没有正确显示乘积或求和。然而，最接近的正确形式是选项 D，它正确地表示了乘积和求和。
因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]