题目
3.填空题设Xsim N(10,2^2)，求P(X<12)=____，P(|X-10|<2)=____（已知Phi(1)=0.8413）
3.填空题
设$X\sim N(10,2^{2})$，求$P(X<12)$=____，
$P(|X-10|<2)$=____
（已知$\Phi(1)=0.8413$）
题目解答
答案
1. **计算 $P(X < 12)$**
标准化得 $Z = \frac{X - 10}{2}$，则 $P(X < 12) = P(Z < 1)$。
由已知 $\Phi(1) = 0.8413$，得 $P(X < 12) = 0.8413$。
2. **计算 $P(|X - 10| < 2)$**
转换为 $P(8 < X < 12)$，标准化得 $P(-1 < Z < 1)$。
利用对称性：$P(-1 < Z < 1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
P(X < 12) = & 0.8413 \\
P(|X - 10| < 2) = & 0.6826 \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换和标准正态分布函数Φ的运用。
解题核心思路：
- 标准化转换：将一般正态分布转化为标准正态分布，利用已知的Φ值计算概率。
- 绝对值不等式的处理：将$|X - \mu| < \sigma$转化为区间形式，结合标准正态分布的对称性简化计算。
破题关键点：
- 第一空：直接标准化后对应Φ(1)。
- 第二空：利用对称性将双侧概率转化为Φ(1)的线性组合。
第一空：$P(X < 12)$
- 标准化：
设$Z = \frac{X - 10}{2}$，则$X < 12$对应$Z < \frac{12 - 10}{2} = 1$。 - 查标准正态分布：
$P(Z < 1) = \Phi(1) = 0.8413$。
第二空：$P(|X - 10| < 2)$
- 转化不等式：
$|X - 10| < 2$等价于$8 < X < 12$。 - 标准化区间：
- $X = 8$对应$Z = \frac{8 - 10}{2} = -1$，
- $X = 12$对应$Z = \frac{12 - 10}{2} = 1$。
- 计算概率：
$P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)$。
由对称性$\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$，代入得：
$P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826.$