设 X_1, X_2, ..., X_n (n geq 2) 是来自正态总体 N(mu, sigma^2) 的简单随机样本, bar(X) 是样本均值, S^2 是样本方差。则下列统计量中服从自由度为 n-1 的 t 分布的是()A. (bar(X) - mu)/(S)B. (bar(X) - mu)/(S/sqrt(n))C. ((n-1)S^2)/(sigma^2)D. (X - mu)/(sigma/sqrt(n))

本题考查正态总体下统计量的分布，特别是 $t$ 分布的定义及相关统计量的性质。解题的关键在于明确 $t$ 分布的构成形式，即一个标准正态分布的随机变量除以一个自由度为 $n - 1$ 的 $\chi^2$ 分布随机变量除以其自由度再开方后的结果。

1. 回顾相关定理和性质

• 若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，则样本均值 $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
• 对 $\bar{X}$ 进行标准化，可得 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
• 样本方差 $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$，且 $\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$。
• 若 $Z \sim N(0, 1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 与 $Y$ 相互独立，则 $T = \frac{Z}{\sqrt{Y / n}} \sim t(n)$。

2. 分析各选项

• 选项A：$\frac{\bar{X} - \mu}{S}$
  • 由 $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，标准化后为 $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，而 $\frac{\bar{X} - \mu}{S}$ 不符合 $t$ 分布的标准形式，所以该选项错误。
• 选项B：$\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$
  • 令 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，$Y = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$。
  • 因为 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立，所以 $Z$ 与 $Y$ 相互独立。
  • 则 $\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} = \frac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} / (n - 1)}} = \frac{Z}{\sqrt{Y / (n - 1)}}$，根据 $t$ 分布的定义，可知 $\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n - 1)$，所以该选项正确。
• 选项C：$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$
  • 根据前面的性质，$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，服从 $\chi^2$ 分布，而不是 $t$ 分布，所以该选项错误。
• 选项D：$\frac{X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$
  • 这里应该是 $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，它服从标准正态分布 $N(0, 1)$，并非 $t$ 分布，所以该选项错误。