1.计算下列极限:-|||-(2) lim _(xarrow sqrt {3)}dfrac ({x)^2-3}({x)^2+1};-|||-(5) lim _(harrow 0)dfrac ({(x+h))^2-(x)^2}(h);-|||-(8) lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^2+x}({x)^4-3(x)^2-1}-|||-(9) lim _(xarrow 4)dfrac ({x)^2-6x+8}({x)^2-5x+4};-|||-(10) lim _(xarrow infty )(1+dfrac (1)(x))(2-dfrac (1)({x)^2});-|||-(11) lim _(narrow infty )(1+dfrac (1)(2)+dfrac (1)(4)+... +dfrac (1)({2)^n});-|||-(12) lim _(narrow infty )dfrac (1+2+3+... +(n-1))({n)^2},-|||-(14) lim _(xarrow 1)(dfrac (1)(1-x)-dfrac (3)(1-{x)^3})

考查要点：本题涉及多个极限计算，涵盖直接代入法、因式分解、无穷小量比较、等比数列求和、多项式展开等方法。

解题思路：

• 直接代入：当分母不为零时，直接代入变量值。
• 因式分解：分子分母同为零时，先因式分解约分。
• 无穷小量比较：分子次数低于分母时，极限为零。
• 等比数列求和：利用求和公式化简表达式。
• 多项式展开：展开后化简求极限。

第（2）题

直接代入法：
当 $x \rightarrow \sqrt{3}$ 时，分母 $x^2 + 1 \neq 0$，直接代入计算：
$\lim _{x\rightarrow \sqrt {3}}\dfrac {{x}^{2}-3}{{x}^{2}+1} = \dfrac {(\sqrt{3})^2 - 3}{(\sqrt{3})^2 + 1} = \dfrac{0}{4} = 0.$

第（5）题

展开化简：
分子展开：
$(x+h)^2 - x^2 = 2xh + h^2.$
化简后：
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac{2xh + h^2}{h} = \lim _{h\rightarrow 0}(2x + h) = 2x.$

第（8）题

无穷小量比较：
分子次数为2，分母次数为4，次数差为2，故：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{x}^{4}-3{x}^{2}-1} = 0.$

第（9）题

因式分解约分：
分子分母因式分解：
$\begin{aligned}x^2 - 6x + 8 &= (x-2)(x-4), \\x^2 - 5x + 4 &= (x-1)(x-4).\end{aligned}$
约分后：
$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac{x-2}{x-1} = \dfrac{4-2}{4-1} = \dfrac{2}{3}.$

第（10）题

拆分极限：
分别求极限：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \cdot \lim _{x\rightarrow \infty }\left(2-\dfrac{1}{x^2}\right) = 1 \times 2 = 2.$

第（11）题

等比数列求和：
首项 $a=1$，公比 $r=\dfrac{1}{2}$，和为：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}} = 2.$

第（12）题

求和公式化简：
分子为前 $n-1$ 项和：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{(n-1)n}{2}}{n^2} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{n-1}{2n} = \dfrac{1}{2}.$

第（14）题

通分化简：
通分后：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac{1}{1-x} - \dfrac{3}{1-x^3}\right) &= \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{(1+x+x^2) - 3}{(1-x)(1+x+x^2)} \\&= \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{x^2 + x - 2}{(1-x)(1+x+x^2)} \\&= \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)} \\&= \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{-(x+2)}{1+x+x^2} = -1.\end{aligned}$