题目
现有x和Y的样本观测值如下表:x2510410y47459假设y对x的回归模型为_(i)=(b)_(square )+(b)_(1)(x)_(i)+(u)_(i),且_(i)=(b)_(square )+(b)_(1)(x)_(i)+(u)_(i),试用适当的方法估计此回归模型。
现有x和Y的样本观测值如下表:
x
2
5
10
4
10
y
4
7
4
5
9
假设y对x的回归模型为
,且
,试用适当的方法估计此回归模型。
题目解答
答案
解:原模型:
, 
模型存在异方差性
为消除异方差性,模型两边同除以
,
得:
(2分)
令
得:
(2分)
此时
新模型不存在异方差性 (1分)
由已知数据,得(2分)
2 | 5 | 10 | 4 | 10 | |
0.5 | 0.2 | 0.1 | 0.25 | 0.1 | |
4 | 7 | 4 | 5 | 9 | |
2 | 1.4 | 0.4 | 1.25 | 0.9 |
根据以上数据,对进行普通最小二乘估计得:
解得
(3分)
解析
步骤 1：识别异方差性
原模型为${y}_{i}={b}_{0}+{b}_{1}{x}_{i}+{u}_{i}$，其中$Var({u}_{i})={\sigma }^{2}{{x}_{i}}^{2}$。由于误差项的方差与$x_{i}$的平方成正比，这表明存在异方差性。
步骤 2：消除异方差性
为消除异方差性，模型两边同除以$x_{i}$，得到$\dfrac{{y}_{i}}{{x}_{i}}={b}_{0}\dfrac{1}{{x}_{i}}+{b}_{1}+\dfrac{{u}_{i}}{{x}_{i}}$。令${y}_{i}^{*}=\dfrac{{y}_{i}}{{x}_{i}}$，${x}_{i}^{*}=\dfrac{1}{{x}_{i}}$，${v}_{i}=\dfrac{{u}_{i}}{{x}_{i}}$，则模型变为${y}_{i}^{*}={b}_{1}+{b}_{0}{x}_{i}^{*}+{v}_{i}$。此时$Var({v}_{i})=\dfrac{1}{{x}_{i}^{2}}\sigma^{2}{x}_{i}^{2}=\sigma^{2}$，新模型不存在异方差性。
步骤 3：计算新变量
根据已知数据，计算${y}_{i}^{*}$和${x}_{i}^{*}$的值。
${x}_{i}^{*}=\dfrac{1}{{x}_{i}}$，${y}_{i}^{*}=\dfrac{{y}_{i}}{{x}_{i}}$。
2
5
10
4
10
0.5
0.2
0.1
0.25
0.1
4
7
4
5
9
2
1.4
0.4
1.25
0.9
步骤 4：进行普通最小二乘估计
根据${y}_{i}^{*}={b}_{1}+{b}_{0}{x}_{i}^{*}+{v}_{i}$，进行普通最小二乘估计，得到${b}_{0}$和${b}_{1}$的估计值。
${b}_{0}=\dfrac{n\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{*}{y}_{i}^{*}-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{*}\sum _{i=1}^{n}{y}_{i}^{*}}{n\sum _{i=1}^{n}({x}_{i}^{*})^{2}-(\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{*})^{2}}$
${b}_{1}=\overline{{y}_{i}^{*}}-{b}_{0}\overline{{x}_{i}^{*}}$
计算得$\left \{ \begin{matrix} {b}_{0}=\dfrac{1.77}{0.54}=3.28\\ {b}_{1}=\dfrac{5.95}{5}-3.28\times \dfrac{1.15}{5}=0.44\end{matrix} \right.$
原模型为${y}_{i}={b}_{0}+{b}_{1}{x}_{i}+{u}_{i}$，其中$Var({u}_{i})={\sigma }^{2}{{x}_{i}}^{2}$。由于误差项的方差与$x_{i}$的平方成正比，这表明存在异方差性。
步骤 2：消除异方差性
为消除异方差性，模型两边同除以$x_{i}$，得到$\dfrac{{y}_{i}}{{x}_{i}}={b}_{0}\dfrac{1}{{x}_{i}}+{b}_{1}+\dfrac{{u}_{i}}{{x}_{i}}$。令${y}_{i}^{*}=\dfrac{{y}_{i}}{{x}_{i}}$，${x}_{i}^{*}=\dfrac{1}{{x}_{i}}$，${v}_{i}=\dfrac{{u}_{i}}{{x}_{i}}$，则模型变为${y}_{i}^{*}={b}_{1}+{b}_{0}{x}_{i}^{*}+{v}_{i}$。此时$Var({v}_{i})=\dfrac{1}{{x}_{i}^{2}}\sigma^{2}{x}_{i}^{2}=\sigma^{2}$，新模型不存在异方差性。
步骤 3：计算新变量
根据已知数据，计算${y}_{i}^{*}$和${x}_{i}^{*}$的值。
${x}_{i}^{*}=\dfrac{1}{{x}_{i}}$，${y}_{i}^{*}=\dfrac{{y}_{i}}{{x}_{i}}$。
2
5
10
4
10
0.5
0.2
0.1
0.25
0.1
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4
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9
2
1.4
0.4
1.25
0.9
步骤 4：进行普通最小二乘估计
根据${y}_{i}^{*}={b}_{1}+{b}_{0}{x}_{i}^{*}+{v}_{i}$，进行普通最小二乘估计，得到${b}_{0}$和${b}_{1}$的估计值。
${b}_{0}=\dfrac{n\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{*}{y}_{i}^{*}-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{*}\sum _{i=1}^{n}{y}_{i}^{*}}{n\sum _{i=1}^{n}({x}_{i}^{*})^{2}-(\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{*})^{2}}$
${b}_{1}=\overline{{y}_{i}^{*}}-{b}_{0}\overline{{x}_{i}^{*}}$
计算得$\left \{ \begin{matrix} {b}_{0}=\dfrac{1.77}{0.54}=3.28\\ {b}_{1}=\dfrac{5.95}{5}-3.28\times \dfrac{1.15}{5}=0.44\end{matrix} \right.$