题目

2.设总体X的期望E(X)和方差D(X)都存在,x1,x2,x1是取自总体X的一个-|||-样本。请从下面的统计量中。找出总体X期里的最有效的无偏估计量。-|||-()-|||-A. dfrac (1)(2)(x)_(1)+dfrac (1)(3)(x)_(2)+dfrac (1)(6)(x)_(8) B. dfrac (1)(3)(x)_(1)+dfrac (1)(3)(x)_(2)+dfrac (1)(3)(x)_(3)-|||-c dfrac (1)(3)(X)_(1)+dfrac (1)(4)(X)_(2)+dfrac (1)(12)(X)_(3) D dfrac (1)(5)(x)_(1)+dfrac (1)(5)(x)_(2)+dfrac (3)(5)(x)_(3)

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查无偏估计量和有效估计量的概念，以及如何通过计算方差来比较估计量的有效性。

解题核心思路：

  1. 无偏性：首先验证各选项是否为无偏估计量，即估计量的期望是否等于总体期望。
  2. 有效性：在无偏估计量中，选择方差最小的统计量作为最有效的估计量。

破题关键点：

  • 系数和为1：若线性组合的系数和为1，则该统计量是无偏的。
  • 方差计算：独立同分布样本下，方差为各系数平方和乘以总体方差。

选项分析

选项C排除

  • 系数和为$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{2}{3} \neq 1$，故$E(C) \neq E(X)$，非无偏估计量。

剩余选项无偏性验证

  • 选项A：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$，无偏。
  • 选项B：$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$，无偏。
  • 选项D：$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=1$，无偏。

方差计算

假设样本独立同分布，方差计算公式为：
$D\left(\sum a_i X_i\right) = \left(\sum a_i^2\right) D(X)$

  • 选项A：
    $D(A) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{7}{18} D(X)$

  • 选项B：
    $D(B) = 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} D(X)$

  • 选项D：
    $D(D) = 2 \times \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{11}{25} D(X)$

比较方差

  • $D(B) = \frac{1}{3} D(X) \approx 0.333 D(X)$（最小）
  • $D(A) = \frac{7}{18} D(X) \approx 0.389 D(X)$
  • $D(D) = \frac{11}{25} D(X) = 0.44 D(X)$

结论：选项B的方差最小，是最有效的无偏估计量。