设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ldots, X_n 为总体的一个样本，若 mu, sigma^2 均是未知的，则 sigma^2 的无偏估计是（ ）。A. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2B. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2C. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2D. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2

我们来分析这个题目，题目是关于**总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量**的选择。 --- ### 一、题目背景 设总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，即 $ X $ 服从正态分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。 我们从总体中抽取一个样本 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $。 目标是：**在 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 都未知的情况下，找到 $\sigma^2$ 的无偏估计量**。 --- ### 二、无偏估计量的定义 一个估计量 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的**无偏估计量**，当且仅当： $$ \mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta $$ --- ### 三、分析各个选项 #### A. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 这是**样本方差的有偏估计量**。我们知道： $$ \mathbb{E}\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \right] = \frac{n-1}{n} \sigma^2 \neq \sigma^2 $$ 所以这个估计是有偏的，**不是无偏估计**。 --- #### B. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$ 这个是**样本与总体均值 $\mu$ 的偏差平方和的平均**。由于 $\mu$ 是总体均值，不是样本均值，所以这个估计量是无偏的，因为： $$ \mathbb{E}\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 \right] = \sigma^2 $$ 但是题目中说 $\mu$ 是**未知的**，因此这个估计量**无法实际计算**，**不适用**。 --- #### C. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 这是**样本方差的无偏估计量**。我们知道： $$ \mathbb{E}\left[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \right] = \sigma^2 $$ 而且 $\overline{X}$ 是样本均值，是已知的（由样本计算得出），所以这个估计量是**可行且无偏的**。 --- #### D. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$ 这个估计量虽然也是无偏的（因为 $\mu$ 是总体均值），但同样由于 $\mu$ 是未知的，**无法实际使用**。 --- ### 四、结论 在所有选项中，**只有选项 C 是既无偏又可行的估计量**，因为： - 它使用的是样本均值 $\overline{X}$，而不是未知的 $\mu$； - 它的期望等于总体方差 $\sigma^2$，即它是无偏的。 --- ### ✅ 正确答案是： $$ \boxed{C} $$