1.有一种前列腺癌标记(prostate cancer marker,PSA)检测法的特性如下:如果说 年男性犯了前列腺癌，则检测结果呈阳性的概率高达90%，同时，如果成年男性未犯前列腺 癌，则检测结果呈阳性的概率为5%。现在某大学男生进行前列腺癌标记检测，结果呈阳 性。虽然他根据自己的了解知道大学男生犯前列腺癌的概率只有0.001%，但还是非常害 怕，很想知道他确实犯前列腺癌的概率，遗憾的是他没有学好贝叶斯统计学，所以请你赶快 帮助他算出这个概率。另外，根据计算出的概率，你对该大学男生有什么建议?

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的计算，以及如何结合先验概率和似然概率推断后验概率。关键在于理解基数（先验概率）对结果的影响。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：设$C$为“患病”，$T$为“检测阳性”，需计算$P(C|T)$。
2. 应用贝叶斯公式：通过已知的$P(T|C)$、$P(C)$和$P(T|\neg C)$，结合全概率公式计算分母$P(T)$。
3. 数值代入计算：注意处理极低的先验概率（$P(C)=0.001\%$）对结果的影响。

破题关键点：

• 基数效应：即使检测准确性较高，若患病率极低，阳性结果的真正患病概率可能仍很低。
• 分母计算：需准确计算总阳性概率$P(T)$，包含患病和未患病两种情况。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设$C$为“患有前列腺癌”，$\neg C$为“未患前列腺癌”。
• 设$T$为“检测结果呈阳性”。
• 已知：
  • $P(C) = 0.001\% = 0.00001$（先验概率）
  • $P(T|C) = 90\% = 0.9$（患病时检测阳性概率）
  • $P(T|\neg C) = 5\% = 0.05$（未患病时检测阳性概率）

步骤2：应用贝叶斯定理
根据贝叶斯公式：
$P(C|T) = \frac{P(T|C)P(C)}{P(T)}$
其中，分母$P(T)$需通过全概率公式计算：
$P(T) = P(T|C)P(C) + P(T|\neg C)P(\neg C)$

步骤3：计算分母$P(T)$

• $P(\neg C) = 1 - P(C) = 1 - 0.00001 = 0.99999$
• 代入公式：
  $\begin{aligned}P(T) &= 0.9 \times 0.00001 + 0.05 \times 0.99999 \\&= 0.000009 + 0.0499995 \\&= 0.0500085\end{aligned}$

步骤4：计算后验概率$P(C|T)$
$P(C|T) = \frac{0.9 \times 0.00001}{0.0500085} \approx \frac{0.000009}{0.0500085} \approx 0.00018 \quad (\text{即 } 0.018\%)$

结论：
检测结果呈阳性时，实际患病的概率仅为约$0.018\%$，建议保持冷静，可通过进一步检查确认。