某单位招聘了65名毕业生 ,拟分配到该单位的7个不同部门,假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多,问行政部门分得的毕业生人数至少为()名。A. 10B. 11C. 12D. 13

考查要点：本题主要考查极值问题中的最优化分配，需要结合不等式约束和整数解的条件进行分析。

解题核心思路：

1. 确定约束条件：行政部门人数必须严格大于其他6个部门的人数。
2. 构造极值模型：假设行政部门分得$x$人，则其他部门最多分得$x-1$人。总人数不超过65人。
3. 建立不等式：$x + 6(x-1) \leq 65$，求解$x$的最小整数解。
4. 验证可行性：通过调整其他部门人数，确保总和为65且满足所有约束。

破题关键点：

• 理解“至少”含义：在满足条件的前提下，找到最小的$x$。
• 注意整数解的边界：当$x=10$时总人数不足，需调整到$x=11$。

步骤1：设定变量
设行政部门分得$x$人，则其他6个部门每部门最多分得$x-1$人。

步骤2：建立不等式
总人数不超过65人，因此：
$x + 6(x-1) \leq 65$

步骤3：解不等式
展开并整理：
$x + 6x - 6 \leq 65 \implies 7x \leq 71 \implies x \leq \frac{71}{7} \approx 10.14$
由于$x$为整数，得$x \leq 10$。但需验证$x=10$是否可行。

步骤4：验证$x=10$的可行性
若$x=10$，其他部门最多分$9$人，总人数为：
$10 + 6 \times 9 = 64 < 65$
总人数不足，因此$x=10$不成立。

步骤5：调整$x=11$
若$x=11$，其他部门最多分$10$人，总人数为：
$11 + 6 \times 10 = 71 \geq 65$
此时可调整其他部门人数，例如：

• 行政部门分$11$人，其他部门均分$9$人，总人数为：
  $11 + 6 \times 9 = 65$
  满足所有条件，因此$x=11$是可行解。

结论：行政部门至少分得$11$人。