题目
已知x_(1)(n)的最高频率分量为100mathrm(Hz)，x_(2)(n)的最高频率分量为100mathrm(Hz)，若对x_(1)(n) cdot x_(2)(n)进行理想取样，则奈奎斯特抽样频率f_(s)应为（）
已知$x_{1}(n)$的最高频率分量为$100\mathrm{Hz}$，$x_{2}(n)$的最高频率分量为$100\mathrm{Hz}$，若对$x_{1}(n) \cdot x_{2}(n)$进行理想取样，则奈奎斯特抽样频率$f_{s}$应为（）
题目解答
答案
根据题目，$ x_1(n) $ 和 $ x_2(n) $ 的最高频率均为 100Hz。两信号相乘后，其频谱为 $ X_1(e^{j\omega}) * X_2(e^{j\omega}) $，带宽扩大为 $ 2 \times 100\,\text{Hz} = 200\,\text{Hz} $。
根据采样定理，奈奎斯特频率为：
\[
f_s = 2 \times 200\,\text{Hz} = 400\,\text{Hz}
\]
因此，奈奎斯特抽样频率应为 400Hz。
答案：400Hz。
解析
本题考查信号与系统中信号相乘的频谱特性以及奈奎斯特抽样定理的应用。解题思路如下：
- 首先明确信号相乘在时域的运算对应着在频域的卷积运算。
- 已知$x_1(n)$和$x_2(n)$的最高频率分量，根据信号相乘后频谱的变化规律，计算出$x_1(n)\cdot x_2(n)$的最高频率。
- 最后根据奈奎斯特抽样定理，计算出对$x_1(n)\cdot x_2(n)$进行理想取样时的奈奎斯特抽样频率。
详细解析
- 步骤一：分析信号相乘后的频谱特性
在时域中，两个离散时间信号$x_1(n)$和$x_2(n)$相乘，即$y(n)=x_1(n)\cdot x_2(n)$。在频域中，对应的是它们的离散时间傅里叶变换（DTFT）$X_1(e^{j\omega})$和$X_2(e^{j\omega})$进行卷积，即$Y(e^{j\omega}) = X_1(e^{j\omega})*X_2(e^{j\omega})$。
当两个信号的最高频率分别为$f_{1m}$和$f_{2m}$时，它们相乘后信号的最高频率$f_m$为$f_{1m}+f_{2m}$。
已知$x_1(n)$的最高频率分量$f_{1m} = 100\mathrm{Hz}$，$x_2(n)$的最高频率分量$f_{2m} = 100\mathrm{Hz}$，所以$x_1(n)\cdot x_2(n)$的最高频率$f_m=f_{1m}+f_{2m}=100\mathrm{Hz}+100\mathrm{Hz} = 200\mathrm{Hz}$。 - 步骤二：根据奈奎斯特抽样定理计算抽样频率
奈奎斯特抽样定理指出，为了从抽样信号中无失真地恢复出原始信号，抽样频率$f_s$必须大于等于原始信号最高频率$f_m$的$2$倍，即$f_s\geq 2f_m$。其中，最小的抽样频率$f_s = 2f_m$称为奈奎斯特抽样频率。
将$f_m = 200\mathrm{Hz}$代入奈奎斯特抽样频率公式，可得$f_s = 2\times200\mathrm{Hz}=400\mathrm{Hz}$。