下面关于关系 R 的对称闭包 s(R) 的描述最确切的是()。A. s(R) 是包含 R 的二元关系B. s(R) 是任何包含 R 的对称关系C. s(R) 是包含 R 的一个对称关系D. s(R) 是包含 R 的最小对称关系

本题考查关系的对称闭包的定义。解题思路是根据对称闭包的定义，对每个选项选项进行分析判断。

选项A分析

• 对称闭包 $s(R)$ 确实是包含 $R$ 的二元关系，但仅仅说它是包含 $R$ 的二元关系，没有突出对称闭闭包的关键特性——对称性以及最小性。例如，对于关系 $R=\{(1,2)\}$，$\{(1,2),(2,1),(3,4)\}$ 也是包含 $R$ 但它不是对称闭包，因为它不满足最小性，所以选项A不确切。

选项B分析

• 说 $s(R)$ 是任何包含 $R$ 的对称关系，这是错误的。包含 $R$ 的对称关系有很多个，而对称闭包是唯一确定的。比如对于关系 $R = \{(1,2)\}$，$\{(1,2),(2,1)\}$ 是包含 $R$ 的对称关系，$\{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}$ 也是包含 $R$ 的对称关系，但对称闭包 $s(R)=\{(1,2),(2,1)\}$ 是唯一的，所以选项B错误。

选项C

• 虽然 $s(R)$ 是包含 $R$ 的一个对称关系，但没有强调“最小”这一重要性质。例如对于关系 $R=\{(1,2)\}$，$\{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}$ 是包含 $R$ 的对称关系，但它不是对称闭包，对称闭包 $s(R)=\{(1,2),(2,1)\}$ 是包含 \(R的最小对称关系，所以选项C不确切。 ## 选项D - 根据对称闭包的定义，关系 $R$ 的对称闭包 $s(R)$ 是包含 $R$ 的最小对称关系。设 $R$ 是集合 $A$ 上的二元关系，$s(R)=R\cup R^{-1}$，其中 $R^{-1}=\{(y,x)\mid(x,y)\in R\}$。可以证明 $s(R)$ 是包含 $R$ 的对称关系，并且对于任何包含 $R\(R$ 的对称关系 $S$，都有 $s(R)\subseteq S$，即 $s(R)$ 是包含 $R$ 且是最小的对称关系，所以选项D正确。