(5)x(n)=n^2R_(N)(n)<|im_end|>3.6 已知 x(n)=2,1,4,2,3(1)计算 X(e^jω)=DTFT[x(n)]及X(k)=DFT[x(n)],并说明二者的关系。(2)将x(n)的尾部补零，得到 x_(0)(n)=2,1,4,2,3,0,0,0计算 X_(0)(e^jω)=DTFT[x_(0)(n)],X_(0)(k)=DFT[x_(0)(n)](3)将(1)、(2)的结果加以比较，得出相应的结论。

题目考察知识

离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）及补零对两者的影响。

（1）计算$X(e^{jω})=\text{DTFT}[x(n)]$及$X(k)=\text{DFTFT}[x(n)]$，并说明关系

DTFT定义：$X(e^{jω})=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jωn}$，其中$x(n)=\{2,1,4,2,3\}$（$n=0,1,2,3,4$），$N=5$。
代入得：
$X(e^{jω})=2e^{0}+1e^{-jω}+4e^{-j2ω}+2e^{-j3ω}+3e^{-j4ω}=2+e^{-jω}+4e^{-j2ω}+2e^{-j3ω}+3e^{-j4ω}$

DFT定义：$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2πkn/N}$，$k=0,1,...,N-1$。代入$N=5$：
$X(k)=2+e^{-j2πk/5}+4e^{-j4πk/5}+2e^{-j6πk/5}+3e^{-j8πk/5}\quad(k=0,1,2,3,4)$

关系：$X(k)$是$X(e^{jω})$在$ω=2πkπ/N$（$k=0,...,N-1$）处的等间隔采样，即$X(k)=X(e^{j2πk/N})$。

（2）计算补零后$X_0(e^{jω})$及$X_0(k)$

$x_0(n)=\{2,1,4,2,3,0,0,0\}$（$n=0,...,7$，$N_0=8$）。
DTFT$X_0(e^{jω})$：补零不改变序列的能量分布，仅扩展时域长度，但DTFT是周期连续的，故：
$\[ X_0(e^{jω})=X(e^{jω})=2+e^{-jω}+4e^{-j2ω}+2e^{-j3ω}+3e^{-j4ω}$

DFT$X_0(k)$：$k)=\sum_{n=0}^{7}x_0(n)e^{-j2πkn/8}$，仅$n=0\sim4$非零：
$X_0(k)=2+e^{-j2πk/8}+4e^{-j4πk/8}+2e^{-j6πk/8}+3e^{-j8πk/8}\quad(k=0,...,7)$
化简指数：$2πk/8=πk/4$，得：
$X_0(k)=2+e^{-jπk/4}+4e^{-jπk/2}+2e^{-j3πk/4}+3e^{-jπk}$

（3）比较结论

• DTFT：补零后$X_0(e^{jω})$与$X(e^{jω})$完全相同，因DTFT是信号的连续频谱，补零不改变频谱信息。
• DFT：补零增加了$N_0$（从5到8），使频率采样点更密集（间隔从$2π/5$变为$2π/8=π/4$），但$X_0(k)$是$X(e^{jω})$在更密集点的采样，未增加新频谱信息，仅提高了频率分辨率的假象。