40.（填空题，4.0分）lim_(x to infty) (sin x)/(x)=____，根据是____.

本题考查函数极限的计算，主要运用无穷小与有界函数的乘积性质或夹逼定理来求解。

方法一：利用无穷小与有界函数的乘积性质

• 首先明确有界函数的定义：对于函数$y = \sin x$，根据正弦函数的性质可知，无论$x$取何值，$\sin x$的值始终满足$-1\leqslant\sin x\leqslant1$，所以$\sin x$是有界函数。
• 然后分析$\frac{1}{x}$在$x\to\infty$时的极限：根据极限的运算法则，$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$，即当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x}$是无穷小量。
• 最后根据无穷小与有界函数的乘积性质：若$\alpha(x)$是无穷小量，$f(x)$是有界函数，则$\lim_{x \to x_0} \alpha(x)f(x)=0$（这里$x_0$可以是有限值或无穷大）。在本题中，$\alpha(x)=\frac{1}{x}$，$f(x)=\sin x$，所以$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to \infty} \sin x\cdot\frac{1}{x}=0$。

方法二：利用夹逼定理

• 第一步，根据正弦函数的取值范围$-1\leqslant\sin x\leqslant1$，因为$x\to\infty$，不妨设$x\gt{}0$（当$x\lt{}0$时同理），不等式两边同时除以$x$，不等号方向不变，得到$-\frac{1}{x}\leqslant\frac{\sin x}{x}\leqslant\frac{1}{x}$。
• 第二步，分别计算不等式两边函数的极限：
  • 计算$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{x}\right)$，根据极限的运算法则$\lim_{x \to \infty} k\cdot f(x)=k\cdot\lim_{x \to \infty} f(x)$（$k$为常数），这里$k = -1$，$f(x)=\frac{1}{x}$，所以$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{x}\right)=-1\times\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=-1\times0 = 0$。
  • 计算$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$，前面已经得出$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$。
• 第三步，根据夹逼定理：若在$x$的某一变化过程中，函数$f(x)$，$g(x)$，$h(x)$满足$f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)$，且$\lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} h(x)=A$（$x_0$可以是有限值或无穷大），则$\lim_{x \to x_0} g(x)=A$。在本题中，$f(x)=-\frac{1}{x}$，$g(x)=\frac{\sin x}{x}$，$h(x)=\frac{1}{x}$，$x_0 = \infty$，$A = 0$，所以$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}=0$。