题目
设 X sim N(mu, sigma^2)，则随着 sigma 的增大，概率 P|X-mu|A. 单调增加B. 单调减少C. 保持不变D. 增减不定
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则随着 $\sigma$ 的增大，概率 $P\{|X-\mu|< \sigma\}$（）
A. 单调增加
B. 单调减少
C. 保持不变
D. 增减不定
题目解答
答案
C. 保持不变
解析
步骤 1：标准化变量
设 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，则标准化变量 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ 服从标准正态分布 $ N(0, 1) $。
步骤 2：概率表示
概率 $ P(|X - \mu| < \sigma) $ 可表示为 $ P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) $。
步骤 3：标准化概率
根据正态分布的性质，$ P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) $ 可以转化为 $ P(-1 < Z < 1) $。
步骤 4：概率值
$ P(-1 < Z < 1) $ 的值约为0.6827，为固定值，不随 $\sigma$ 变化。
设 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，则标准化变量 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ 服从标准正态分布 $ N(0, 1) $。
步骤 2：概率表示
概率 $ P(|X - \mu| < \sigma) $ 可表示为 $ P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) $。
步骤 3：标准化概率
根据正态分布的性质，$ P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) $ 可以转化为 $ P(-1 < Z < 1) $。
步骤 4：概率值
$ P(-1 < Z < 1) $ 的值约为0.6827，为固定值，不随 $\sigma$ 变化。