题目

已知随机变量X的分布律为X -1 0 1-|||-P 0.4 0.2 0.4且D(Y)=0.8,Cov(X,Y) =0.4,则X -1 0 1-|||-P 0.4 0.2 0.4A.0B.0.4 C.1 D.0.5

已知随机变量X的分布律为

且D(Y)=0.8,Cov(X,Y) =0.4,则

A.0

B.0.4 

C.1 

D.0.5

题目解答

答案

本题答案为：D

根据随机变量X的分布律：

计算期望E(X)：

计算方差D(X)：

其中，

所以，

接下来，利用已知条件D(Y)=0.8和Cov(X,Y)=0.4来计算相关系数

相关系数 的定义为：

将已知条件代入公式中：

故答案为：D

解析

考查要点：本题主要考查相关系数的计算，涉及协方差、方差的计算，以及对随机变量分布律的应用。

解题核心思路：

  1. 计算随机变量X的期望E(X)和方差D(X)；
  2. 利用相关系数公式$\rho_{xy} = \dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$代入已知条件求解。

破题关键点：

  • 正确计算E(X)：根据分布律逐项相乘求和；
  • 正确计算D(X)：先求$E(X^2)$，再用$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$；
  • 代入公式时注意分母为方差乘积的平方根。

步骤1：计算E(X)

根据分布律：
$E(X) = (-1) \times 0.4 + 0 \times 0.2 + 1 \times 0.4 = -0.4 + 0 + 0.4 = 0$

步骤2：计算D(X)

  1. 计算$E(X^2)$：
    $E(X^2) = (-1)^2 \times 0.4 + 0^2 \times 0.2 + 1^2 \times 0.4 = 0.4 + 0 + 0.4 = 0.8$
  2. 代入方差公式：
    $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.8 - 0^2 = 0.8$

步骤3：计算相关系数$\rho_{xy}$

根据公式：
$\rho_{xy} = \dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = \dfrac{0.4}{\sqrt{0.8 \times 0.8}} = \dfrac{0.4}{0.8} = 0.5$