题目
2. 生产一个零件所需时间(单位：秒)Xsim N(mu,sigma^2)，观察25个零件的生产时间得overline(x)=5.5，s=1.73.试求mu和sigma^2的置信区间.(置信度为0.95).
2. 生产一个零件所需时间(单位：秒)$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，观察25个零件的生产时间得$\overline{x}=5.5$，$s=1.73$.试求$\mu$和$\sigma^{2}$的置信区间.(置信度为0.95).
题目解答
答案
1. **求 $\mu$ 的置信区间**
使用 t 分布，自由度 $n-1=24$，查表得 $t_{0.025}(24)=2.0639$。
置信区间为：
\[
\left( \overline{x} - t_{0.025}(24) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{0.025}(24) \frac{s}{\sqrt{n}} \right) = (4.7854, 6.2146)
\]
2. **求 $\sigma^2$ 的置信区间**
使用 $\chi^2$ 分布，自由度 $n-1=24$，查表得 $\chi^2_{0.025}(24)=39.364$，$\chi^2_{0.975}(24)=12.401$。
置信区间为：
\[
\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}(24)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}(24)} \right) = (1.8249, 5.7921)
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\mu \text{ 的置信区间：} & (4.7854, 6.2146) \\
\sigma^2 \text{ 的置信区间：} & (1.8249, 5.7921)
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：求 $\mu$ 的置信区间
使用 t 分布，自由度 $n-1=24$，查表得 $t_{0.025}(24)=2.0639$。 置信区间为： \[ \left( \overline{x} - t_{0.025}(24) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{0.025}(24) \frac{s}{\sqrt{n}} \right) = (4.7854, 6.2146) \]
步骤 2：求 $\sigma^2$ 的置信区间
使用 $\chi^2$ 分布，自由度 $n-1=24$，查表得 $\chi^2_{0.025}(24)=39.364$，$\chi^2_{0.975}(24)=12.401$。 置信区间为： \[ \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}(24)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}(24)} \right) = (1.8249, 5.7921) \]
使用 t 分布，自由度 $n-1=24$，查表得 $t_{0.025}(24)=2.0639$。 置信区间为： \[ \left( \overline{x} - t_{0.025}(24) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{0.025}(24) \frac{s}{\sqrt{n}} \right) = (4.7854, 6.2146) \]
步骤 2：求 $\sigma^2$ 的置信区间
使用 $\chi^2$ 分布，自由度 $n-1=24$，查表得 $\chi^2_{0.025}(24)=39.364$，$\chi^2_{0.975}(24)=12.401$。 置信区间为： \[ \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}(24)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}(24)} \right) = (1.8249, 5.7921) \]