题目
( x , y ) 的联合分布律为：Y x -7 2-|||--7 dfrac (5)(20) dfrac (2)(20) .dfrac (6)(20)-|||-2 .dfrac (3)(20) .dfrac (3)(20) .dfrac (1)(20)试求： ( 1 ) x 的边缘分布律 ( 2 ) X ，Y 是否相互独立，并说明原因 ( 3 ) E ( XY )
( x , y ) 的联合分布律为：
试求：
( 1 ) x 的边缘分布律
( 2 ) X ，Y 是否相互独立，并说明原因
( 3 ) E ( XY )
题目解答
答案
(1)由图表可知x 的边缘分布律：
(2)由图表得
∴
X ，Y 不相互独立
(3)
解析
步骤 1：计算 x 的边缘分布律
根据联合分布律，计算 x 的边缘分布律，即对每个 x 值，计算其对应的概率。对于 x = -1，概率为 P(X = -1) = P(X = -1, Y = -1) + P(X = -1, Y = 1) = 5/20 + 3/20 = 8/20 = 2/5。对于 x = 1，概率为 P(X = 1) = P(X = 1, Y = -1) + P(X = 1, Y = 1) = 2/20 + 3/20 = 5/20 = 1/4。对于 x = 2，概率为 P(X = 2) = P(X = 2, Y = -1) + P(X = 2, Y = 1) = 6/20 + 1/20 = 7/20。
步骤 2：判断 X 和 Y 是否相互独立
根据联合分布律，计算 Y 的边缘分布律，即对每个 Y 值，计算其对应的概率。对于 Y = -1，概率为 P(Y = -1) = P(X = -1, Y = -1) + P(X = 1, Y = -1) + P(X = 2, Y = -1) = 5/20 + 2/20 + 6/20 = 13/20。对于 Y = 1，概率为 P(Y = 1) = P(X = -1, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1) + P(X = 2, Y = 1) = 3/20 + 3/20 + 1/20 = 7/20。然后，检查 P(X = -1, Y = -1) 是否等于 P(X = -1) * P(Y = -1)，即 5/20 是否等于 (2/5) * (13/20)。由于 5/20 不等于 (2/5) * (13/20)，所以 X 和 Y 不是相互独立的。
步骤 3：计算 E(XY)
根据联合分布律，计算 E(XY)。E(XY) = ΣΣxy * P(X = x, Y = y) = (-1)(-1) * 5/20 + (-1)(1) * 3/20 + (1)(-1) * 2/20 + (1)(1) * 3/20 + (2)(-1) * 6/20 + (2)(1) * 1/20 = 5/20 - 3/20 - 2/20 + 3/20 - 12/20 + 2/20 = -5/20 = -1/4。
根据联合分布律，计算 x 的边缘分布律，即对每个 x 值，计算其对应的概率。对于 x = -1，概率为 P(X = -1) = P(X = -1, Y = -1) + P(X = -1, Y = 1) = 5/20 + 3/20 = 8/20 = 2/5。对于 x = 1，概率为 P(X = 1) = P(X = 1, Y = -1) + P(X = 1, Y = 1) = 2/20 + 3/20 = 5/20 = 1/4。对于 x = 2，概率为 P(X = 2) = P(X = 2, Y = -1) + P(X = 2, Y = 1) = 6/20 + 1/20 = 7/20。
步骤 2：判断 X 和 Y 是否相互独立
根据联合分布律，计算 Y 的边缘分布律，即对每个 Y 值，计算其对应的概率。对于 Y = -1，概率为 P(Y = -1) = P(X = -1, Y = -1) + P(X = 1, Y = -1) + P(X = 2, Y = -1) = 5/20 + 2/20 + 6/20 = 13/20。对于 Y = 1，概率为 P(Y = 1) = P(X = -1, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1) + P(X = 2, Y = 1) = 3/20 + 3/20 + 1/20 = 7/20。然后，检查 P(X = -1, Y = -1) 是否等于 P(X = -1) * P(Y = -1)，即 5/20 是否等于 (2/5) * (13/20)。由于 5/20 不等于 (2/5) * (13/20)，所以 X 和 Y 不是相互独立的。
步骤 3：计算 E(XY)
根据联合分布律，计算 E(XY)。E(XY) = ΣΣxy * P(X = x, Y = y) = (-1)(-1) * 5/20 + (-1)(1) * 3/20 + (1)(-1) * 2/20 + (1)(1) * 3/20 + (2)(-1) * 6/20 + (2)(1) * 1/20 = 5/20 - 3/20 - 2/20 + 3/20 - 12/20 + 2/20 = -5/20 = -1/4。